XXXVII...) ^(^)=4-(7F

Dans les notations de M. Weierstrass, on envisage souvent le quotient

comme invariant absolu. Entre J(t) et cet invariant, on a immédiatement les relations très simples

V. — Généralités sur les transformations linéaires. Transformation linéaire des fonctions <p(x), ^{'^)y yS'^)-

190. Pour établir les formules de transformation linéaire générale pour les trois fonctions ?(t), •i('r), "/(t) de M. Hermite, ce qui, d'après le Tableau du n**187, revient à la détermination d'un signe -i- ou — qui peut dépendre des quatre entiers «, 6, c, rf, il nous faut d'abord commencer par étudier de plus près ce mode de transformation.

Nous désignerons sous le nom de transformation linéaire l'opération qui consiste à remplacer t par — ;— 7- , a^ b^ c^ d étant quatre entiers qui vérifient la relation ad — 6c = 1 ; elle se représentera par le symbole l j^ j •

Si ( T-)> ( ' ' b'I ^^^^ deux symboles de transformation

linéaire, le symbole

représentera l'opération qui consiste à remplacer t par

^ ' ^a'-hO'z ca'-^dc'->n{cb'-\-dd')'z

, c'-^-r/'T aa'-^-bc'-^-iab'-^bd')-:'

celle opération est manifestement une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transformation^

LES FONGTIOlfS 2r. 55

De même, si ( -^j — r^- ) est un troisième symbole de transformation linéaire, le symbole

/ c-hdz c'-h d'z c'-h cf'T \ \a-hbz' a'-hb'-z' a'-^b'z)

représentera l'opération qui consiste à remplacer t par

ca:-\-dc'-^-{cb'->fdd')

aa*-\' bc'-\- [ab'-^ bd')

et l'on voit sans peine que cette opération est encore une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transforma-

\a->fb'zj \a'-\-bzl xa-^-bz/ L'opération qui consiste à remplacer t par -j-^ est identique à l'opération qui consiste à remplacer respectivement (o^ , 0)3 par awi + btù^^ ca>| -t- diù^ : c'est l'opération que nous avons désignée au n® 146 sous le nom de substitution, et que nous avons

représentée par le symbole y ,j; en sorte que, si l'on conserve les notations des n® 1 46-147, on voit que l'opération

/ c -^ dz c'-\- d'z c'-h d^z\ [a-^bz' a'-hb'z' a'-^b'z)

revient à la substitution (* )

(a b\/a' b'Xf/i" b' \ \c d)\c' d')\c d")'

Il est clair que dans un symbole de transformation

/ c -h dz c'-^dz c'-^d'z \

\^j;rbz' a'-hb'z' a"-^b''z' '")

on peut grouper ensemble deux ou plusieurs termes consécutifs, de même que dans un produit symbolique de substitutions on peut remplacer plusieurs facteurs symboliques par leur produit effectué.

(*) Voir, en particulier, la note ûaale du n" 146, t. I, p. a4i<

56 CALCUL DIFFÉRENTIBL.

L'opération qui consiste à remplacer t par t est la transformation identique.

La transformation (-^^37— ) est la transformation ini^erse de

( - — T^ j ; le symbole de transformation

(c -\- dz — c -4- a'z\ a -f- ôx' ci — bx )

représente aussi la transformation identique.

191. Le théorème établi aux n®* 148-150 peut maintenant s'énoncer de la façon suivante : Toute transformation linéaire peut s'obtenir par la composition de transformations de la forme

(t ±: i), ( )• D'ailleurs, la répétition de n transformations de la

forme (t ± 1) équivaut à une transformation de la forme (t ±/i) ; la composition de deux transformations de cette dernière forme reproduit une transformation de même forme; enfin, la composition de deux transformations ( j reproduit la transformation

identique, qui n'a pas d'influence. Rien n'empêche donc d'énoncer ce théorème de la façon suivante :

Toute transformation linéaire peut être représentée par un symbole de la forme