I ...,X-t-/li, > T-h /11, > T -h /Is

/2i, /I2, /I3, •.• étant des nombres entiers positifs ou négatifs.

Le premier et le dernier des éléments de ce symbole peuvent d'ailleurs être de l'une ou de l'autre des deux formes t -h /i? — z'

Par exemple, la transformation l- — z~fi ) P^^^ se représenter par le symbole

fx-h2, — -, X-f-3, y X— 5j,

c'est-à-dire que l'on a

LES FONCTIONS &. Sy

192. Noas dirons qu'un ensemble de transformations linéaires, rn nombre fini, constitue un groupe si la transformation idenique fait partie de cet ensemble et si toute transformation obtelae en composant deux transformations de l'ensemble appartient -ussi à cet ensemble. D'après cela, l'ensemble de toutes les transormations linéaires constitue un groupe. L'ensemble de toutes <s transformations linéaires obtenues par répétition et combinai-

on des deux transformations (t + 2), ( j constitue aussi un

Toupe. Si dans un groupe de transformations linéaires on peut

41? s isoler un nombre fini ou infini qui, prises dans leur ensemble,

^constituent un groupe, ce groupe partiel sera dit un sous-groupe,

^contenu dans le groupe total. Ainsi, le second des deux groupes

précédents est un sous-groupe contenu dans le premier.

Nous appellerons fonction modulaire (*) une fonction univoque de t qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires d'un groupe. Telle est, en particulier, la fonction J(t), qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires.

Si une fonction univoque de t reste invariable pour quelques

tra.cftsformations linéaires, l'ensemble des transformations qui

laissent cette fonction invariable coxislitue évidemment un groupe;

en ^ffet, la transformation identique fait partie de cet ensemble,

puisque la fonction est univoque, et la transformation, composée

de deux transformations linéaires de l'ensemble, laissant la fonc-

^Oïn. invariable, comme les deux transformations composantes,

appartiendra de même à l'ensemble. On dit du groupe ainsi formé

qtt^ la fonction considérée lui appartient.

ÏJne fonction univoque de t qui, lorsqu'on fait subir à t une ira XI «formation linéaire quelconque, ne peut prendre qu'un nOïxibre limité de valeurs, est manifestement une fonction modu- \a>i^; elle appartient au groupe des transformations linéaires Cif^^ laissent cette fonction invariable; telles sont les fonctions ff \t), A/(t), cp(t), <Î'(t), '/(t) précédemment définies, et qui sont, comme on l'a vu plus haut (XXXVIIg), (XXXVIIl3,4,7), liées algébriquement à la fonction J (x).

L'étude des fonctions modulaires, qu'il convient de faire re-

(*) Cette dénomination est due à M. Dedekind.

monter à M. Hermile, a été l'objet de développements considérables, dans lesquels nous ne saurions entrer ici (*). En s'aflranchissant de la restriction, qui consiste en ce que les nombres a, 6, c, d sont rationnels, on entre dans le domaine des recherches qui ont illustré le nom de M. Poincaré, recherches que les travaux de MM. Schwarz, Fuchs, Klein avaient d'ailleurs préparées.

193. L'un des problèmes qui se posent le plus naturellement est celui-ci : étant donnée une fonction modulaire, déterminer le groupe auquel elle appartient. Nous allons l'aborder pour les trois fonctions ç(t), 'Î^(t), y/^).

Considérons d'abord les trois fonctions

A~X K'^)y »- cpu(x)' ^ ^«H'^)

On reconnaît tout de suite, en vertu des relations algébriques qui lient les fonctions cp, tj^, y, qu'elles ne peuvent être égales que pour des valeurs particulières de t, faisant acquérir aux fonctions cp, i^^ ^f^ certaines valeurs déterminées : comme il est évident, sur leur définition, que ces fonctions ne sont pas des constantes, on voit que les fonctions A, B, C sont, en général, distinctes. Or Teffet des transformations (t±i), l j est de les

ranger respectivement dans les ordres

Toute transformation linéaire, étant composée avec celles-là, ne pourra donc avoir d'autre effet que de reproduire ces trois fonctions, rangées dans un certain ordre, et chacune d'elles ne peut prendre que trois valeurs quand on effectue sur t une transformation linéaire quelconque.

(*) Voir, en particulier, les nombreux Mémoires de M. Klein dans les Mathematische Annalen, et son Livre Zur Théorie der Modulfunctionen, ainsi que le Mémoire de M. Kiepcrt dans le Journal de Crelle, t. 87. M. Hurwitz {Mathematische Annalen, t. XVIII, p. SaS) a montre comment on peut envisager les fonctions modulaires directement et sans passer par l'intermédiaire des fonctions Thêta.

Cela s'accorde avec ce fait que l'on a L'équation du troisième degré en ;/,

que vérifie la fonction ^^*(t), montre bien, en effet, que cette fonction ne peut prendre que trois valeurs pour les transformations linéaires qui laissent J(t) invariable, et les trois racines de cette équation sont précisément A, B, C.

194. Les formules (XLV) montrent clairement que les transformations (Tit: 2), ( — - j laissent la fonction A invariable. Réciproquement, toute transformation linéaire qui laisse A invariable peut être obtenue de cette façon, de sorte que la fonction A appartient au groupe formé en composant les transformations

de toutes les manières possibles.

Supposons, en effet, le symbole de transformation écrit sous la forme

-t- /11, > " -f- /ij, 9 'z -h /i3, . . ) :

négligeons au commencement, s'il y en a, les termes de la forme

T-h2n, y qui laissent A invariable, de sorte que le premier

terme du symbole de transformation sera de la forme -z -{- n où. n est impair; si n n'est pas égal à i, on le décomposera en deux, T -H /i — I , T -h I , dont on fera rentrer le premier parmi ceux que l'on néglige et qui laissent A invariable. Les deux premières

transformations, (T-h i), ( — M? changent successivement A en C,

puis C en B; vient ensuite un terme de la forme t -h n. Que n soit pair ou impair, la transformation (T-h/i) laisse B invariable;

puis vient un terme de la forme qui change B en C; puis un

6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

terme de la forme t -f- /i'. Que rJ soit pair ou impair, nous décomposerons la transformation (t + ti') en deux, (t — i), (T+n'-f- i); la transformation (t — i ) change C en A, et nous prendrons la transformation (t-t/i'+i) comme premier terme d'une nouvelle suite dont nous traiterons les termes comme ceux dont nous venons de parier. En répétant ainsi le nombre voulu de fois le même raisonnement, on arrive finalement à la conclusion suivante :

Si une transformation linéaire laisse A invariable, son symbole sera formé d'une suite de groupes de termes tels que

I, > T-f-Tl, — -j T — I,

groupes de termes qui pourront être précédés, suivis ou séparés

les uns des autres par des termes tels que t -h 2/1, ; on peut

dire encore que la transformation sera composée de transformations ayant pour symboles

n), (—^j» ^T-i-i, — i, T4-n, — i, T — ij,

où n est un entier pair ou impair, positif ou négatif.

Or la transformation correspondant au dernier symbole revient à remplacer t par

on reconnaît d'ailleurs immédiatement, en adoptant cette nota tion, que l'on a

on aura donc, en supposant n positif,

Ti = > 'Cj = > • • • > "^z» =

T — 2 Ti — 2 X/|i — 2

et, par suite,

LES FOIfCTIOIfS &. 6l

le sjmbole du second membre compre9:iant n termes de la

forme et n termes de la forme t — 2. Comme on peut écrire

la relation précédente entre T/j et T/,^.i ,

on a aussi

et, par suite, en supposant n négatif,

( ) = (tH-2, , T4-2, , •••>

le symbole du second membre comprenant n termes de la

forme t -f- 2 et n termes de la forme — -•

On voit, en résumé, que les transformations qui laissent 7^^*(':) invariable s'obtiennent en composant les transformations de la

forme (t rh 2), l j> et pourront être représentées par des symboles de la forme