Puisque l'on a
il est clair que les transformations linéaires qui laisseront invariables «p*(t) ou ^*(t), laissant aussi X^*(") invariable, auront toujours des symboles de la forme
(...,':-h2/li, — -» T-+- 9.n2, > ' ' ' )'
mais comme les transformations de la forme (7-1-2/1) n'altèrent ni ©*(t) ni ^*(t), et que les transformations de la forme ( — - j
échangent ces deux fonctions, on voit que si la transformation ne change pas ç*(t) ou ^^(t), son symbole devra contenir le terme
un nombre pair de fois. Il suit de là que toutes les transformations cherchées résultent de la composition de transformations ayant des symboles de la forme
(T-h2/?i), ( j T-i-an, — -j
On reconnaît sans peine, en répétant le raisonnement du n** 194-, que la dernière transformation s'obtient en répétant n fois l'une ou l'autre des deux transformations inverses
suivant que n est positif ou négatif.
Les transformations qui n'altèrent pas les fonctions <P*(t), A^(t) pourront donc être représentées par des symboles où figureront, n'importe dans quel ordre, des termes de la forme
64 CALCUL DIFFÉBENTIBL.
la forme étant pair. Si ce symbole commence ou finit par un
terme de la forme — - > on placera au commencement ou à la fin
un terme de la forme t -h o, de manière à obtenir, dans tous les cas, un symbole de la forme
/Il f \
(•c4-ao. 9 T-t-ai, > •••, z + a^n-it > 'c ■+- «i» I ,
OÙ tous les nombres ao, ^i, . . . , a^n sont pairs, le premier et le dernier pouvant seuls être nuls. En groupant ensemble les transformations partielles telles que
(-i, x + a., -I), on peut encore donner au symbole la forme
(T-^ao, — y t-H «j, -— > •• •> 'c-t-ain).
\ 1 — «iT I — ajT /
Les transformations de la forme (x-j-a) changent cp(T) en
/*ç(t), laissent ^{^(t) invariable et changent x('^) ^° *^'x(*^)' les transformations \—^ — ) laissent cp(^T) invariable, changent
^{z) en i* 4'('^) ^' X('^) ^" ***X('^) * ^^ donc on pose
on aura
Ajrt = «0 -+- Ûf2 -i- • . . -+- Ojff ,
Aï/1-1 = «1 -+- aa-h. . .-t- «în-i»
cp(T) = /^ (p(x),
4/(T)=/"^^(T), A«w-f-Atw— 1
Nous sommes ainsi amenés à chercher des expressions en fonction de a^ b^ c, rf, de nombres congrus, suivant le module i6, à A,;i, à A2/j i el, suivant le module 48, à Aj^-i- A,,,|.
