C -hdz ^ (ajn -+- -Z ) Pi„.\ — Pin-1 __ Pin-^ -Z Pjn-i

a-\-bi (ai/i-+-':)<7jrt i— <7j„-j qm-^^-qm-i

et que, par conséquent, au facteur — i près, les nombres q2ni 72/1-1 j p^nt P2n-\ sont respectivement égaux aux nombres «, i, c, d. Comme on ne change pas la transformation en changeant à la fois les signes de ces quatre nombres, et que, d'autre part, -dans les formules finales, figureront seulement des fonctions paires de q^ny 72/i~i) Pmt P2n-\i rien n'empéchc de supposer

Pîn== c, Ptn-1 = d.

Il suffit donc d'exprimer A3,,, Ain-i par des nombres formés à l'aide des entiers /?2«, pin-\-i ^2ny Çin-ij à des multiples de 16 T. et M. — II 5

près, pour avoir, dans le cas où nous nous sommes placés, les formules de transformation linéaire des fonctions o et ^.

200. Supposons les quantités pr^ Çr exprimées explicitement en fonction de ao^ ai, a2, a^, ... : ce seront des polynômes à coefficients 4-1 et — I, où l'on pourra grouper ensemble les termes de même degré. D^ailleurs, dans chacune de ces expressions, on n'aura soit que des termes de degré pair, soit que des termes de degré impair, en sorte que, si l'on désigne par Âs/,, A^n^i i Bs», Ba«< ; C2/1, C2n-i ; Da/îï ^2n^i ; Ea,,, Ean-i ; • • • des poljnomes en ao, ai, aa, . • • dont les degrés respectifs sont égaux au rang des lettres A, 6, C, D, ... dans l'alphabet, on peut écrire, comme on le voit très aisément,

(— l)'*/'î»-l = I — Bîn-i -h D,„-., — . . . ,

(— i)'»g,a =1 — B,„ -hD,;» — ...,

A la vérité, le sens des symboles A2/1, A2/1.1 a déjà été fixé; mais ils gardent leur signiGcation, comme on va le vérifier immédiatement. En substituant, en efiet, les valeurs que l'on vient d'écrire dans les égalités

Pm =/>J»-lûfj/i — Ptn-ii Çtn = Çin-l(^tn — ^l/i-î»

Pin-l =^J»-î«Jn-l — Pin-ty Çfn-i = Çtn-t^^tn-i — Çtn-z>

on trouve de suite

IAji» = Asn-2 -H ^în» Aji,-i = Asn— s •+" (^fn-l »

B jrt = Aj»-i atn -+- Bj^-jt ^tn-i = Aj/» j aji,i -h Bt^-s»

d'où l'on tire

Aî« = a© -H «2 -H • • • t- «in,

Ajn-l = «i-t- ^3-4-.. .-+-«11»-!,

^ I B,rt = Al a, -f- A, a* -h . . . -t- A,«-i am»

Bî/»-i= Aoai-h Asa3 + . . .4- Ajn-îûtjn-i» Gj/» = Bjaj-h Bia^-h. . .4- Bj»iajn»

Ciii-i = Bia8-+-...-l-Bj,i iajn-i.

D'ailleurs, puisque les nombres ao, ai, a2, • • • sont pairs, on a certainement, quel que soit Tindice r,

Ar^o (mod. a), Br^o (mod. 4), Gr^o (mod. 8),

et les nombres D,., Er, . • • sont évidemment divisibles par i6, en sorte que les égalités (^) entraînent les congruences (mod. i6)

L'avant-demière des égalités (8) peut s'écrire C,„= (A,— Ao) Bi-h ( A4 — A,) Bs-h. . .-f. ( A,a— A,„,) B,«-i

= — AqBi — At(B3 — Bi) — .. . — Ajrt-j(Bjn-l — Bj,i 3)-hAjnBin-î.

Si, dans le dernier membre, on remplace pour chacun des indices r=2, 3, ..,, /i, la différence B2r i — B2r 3 par sa valeur A2r-2ûfar-i ctB| par aoûi = AoûTi, il vient

Gjii= — ai AJ — aj A| — . . .— ajn-i A|„,-i- A,„ B,;,i.

D'ailleurs on a, en général,

Oir-i A|;w, = 2a,r-i A,r-î (mod. 16);

en effet, la différence a2r-i A2r-i(A2r 2 — a) entre les deux membres est divisible par 16, puisque a2r-i est pair et que le produit des deux nombres pairs consécutifs A2r 2) A,r 2 — 2 est divisible par 8. Ainsi, en négligeant les multiples de 16, la quantité ai AJ + «8 A^ + . • . -h «2/1-1 AJ^, peut être remplacée par

!i(«i Ao-h as A, -h. • .-hatn^i Ai»-i) = 2B,„-| ;

on a donc

C,«s— 2B,„i-4- A,„B,„-i (mod. 16).

On démontre exactement de la même façon la congruence

Cjit^iE — aBi^-iH- Asn-iBiA-f (mod. 16).

Ces deux congruences permettent d'écrire la première et la dernière des congruences (e) sous la forme

, , I (— OVî/» = A,«-+-2B,„-, — Aj„Bj„,, I

(tj) < ^ « * « } (mod. i6).

Dans le second membre de la première de ces congruences, on peut remplacer Vt^ns par i — ( — i )''/^2/i-i ? puisque les deux quantités ne dilTèrent que par un multiple de i6. De même, dans le second membre de la deuxième, on peut remplacer B2;i 2 par

D'autre part, l'égalité

montre, en tenant compte de la dernière congruence (e) et de la congruence C2r-i ^ o (mod. 8), que l'on a

Si le nombre pair Aj,,.! est divisible par 4) on a donc

qin=—qin-i (mod. 8);

mais, dans la seconde congruence (tj), B2/i 2 est multiplié par le nombre pair A,„, — a; on peut donc négliger dans l'expression de B2„2 les multiples de 8, et, par conséquent, remplacer B2/ï 2 par I — ( — lYq^n- Si A2/î i était divisible par 2 sans l'être par 4» le facteur A2«i — 2 serait divisible par 4> et l'on pourrait négliger dans l'expression de B2/i 2 les multiples de 4; comme «2/1, ^2n-\ sont pairs tous deux, on a toujours

qtn=— Çin-i (mod. 4);

on voit donc que Ton peut encore remplacer B2n-2 par

Dès lors, les deux congruences (tj) conduisent aux suivantes

. (mod. 16), (-i)'*yj/i-i'^-A,n-,~(2 — A2„,)[i — (-i)«y,„] )

d'où l'on tire

Aîn-l^li» = — yi/i-l-+-2[yî» —(—0'*] )

Multiplions ces deux congruences respectivement par/>2«-i) yj/i» si l'on remarque que, en vertu des congruences (e) et de la congraence B,. ^ o (mod. 4), on a

P\^''^' l(mod.8), d'où, puisque Â2/iy A2/i i sont pairs,

Aî/i-i^î/, =Aî„, )

on voit que l'on peut écrire

(mod. i6).

Les seconds membres se réduisent, en tenant compte des congruences,

qui résultent manifestement des congruences (e) et de la congrueoce B^ ^ o (mod. i6), et l'on a finalement

ou encore

Ain = cd-hd* — I )

> (mod. i6).

201. Nous transformerons ces expressions de Ao/i, A2«i au mojen des congruences

(a — d)(a-{- d-i- c) Ei=o ,

^ ^^ ^ (mod. 16),

(a'—d){a-hd-hb) = o

qui peuvent s'établir comme il suit.

Écrivons les premiers membres sous la forme

(Çin— Ptn-l) (Çtn-^ Pln-l-^ Pin)y (Çtn'—Ptn-l){gtn-^Ptn-i-^Çtn'-l)'

En tenant compte des congruences (e), on voit que les deux quantités précédentes sont respectivement congrues (mod. i6) à

Il nous suffit donc de montrer que ces deux quantités sont divisibles par 16.

Pour la première, il n'j a évidemment lieu à démonstration que si Ton avait à la fois

Bin-i— Bt„s4 (mod. 8), A,„so (mod. 4);

mais, si Ton écrit la première de ces deux congruences sous la forme équivalente

B,«-i-hB,„s4 (mod. 8),

on aperçoit tout de suite qu'elle est incompatible avec la seconde; car on tire de Tégalité

ÇtnPtn-l — PlnÇtn-i = I,

et des congruences (e) la suivante

Bîn-iH- B,„= At„Ajn-i (mod. 16),

et cette dernière montre que, si Ajn est divisible par 4» ^2n~i -f- ^m est divisible par 8.

On déduit aussi de la dernière congruence que Ton ne peut avoir à la fois

Bî«-i-B2„ = 4 (mod. 8), A2«-i ^o (mod. 4),

et les congruences annoncées sont établies.

Puisque a — rf est divisible par 4, que 6 et c sont pairs, il est

clair que ces congruences entraînent les suivantes :

/ , (mod. 16);

on en tire

a^dz ac ^ rf* zfc cd )

OÙ les signes supérieurs se correspondent.

Les deux expressions de Aznt A2/1-1 peuvent donc aussi s^écrire

. , , i (mod. 16)

A^f^i^^ab-^a^—i^—bd-hd^—i )

et l'on a, par suite, dans le cas 1° du Tableau (XXe), les relations

S02. n est facile de vérifier que, dans chacun des cas 2^ à 6^ du Tableau (XXq), la transformation t peut être envisagée

comme composée de transformations (t-|- i), ( j et de transformations rentrant dans le premier cas. Cela résulte du Tableau suivant, où Ton a écrit, à gauche, le numéro correspondant du Tableau (XX«), et où, dans le second membre, figurent chaque fois dans Tordre voulu les transformations qui, par combinaison, donnent la transformation t.

[a-^bz) "" [a-b-hbx''^'^^)'

ir) = ( — rrr t"» t-Hi» » "^-m )»

(c-{-dx\ / d-i- (d—c)x I \

a-^bz) -^ \b -h {b -^ a)z ' "" x' """^V'

(c-hd'z\ __ /d'-C'z i \ a^bz) ''\b-ai'~'z)'

(c-t-rfc\ (d-^c — et i\

On voit bien, en tenant compte de la parité des nombres a, 6,

6*, d dans chacun des cinq cas considérés, qu'outre (t + i), ( )»

les transformations qui paraissent dans le second membre rentrent dans le premier cas. Les transformations (t-+-i), ( — -)

changent d'ailleurs cp(T) et <J^(t) en combinaisons de ces fonctions que font connaître les formules (XLV).

203. A l'aide de cette remarque et des formules établies au n? 201 pour ?(t) et ^{t) dans le premier cas du Tableau (XX«), on obtiendra sans peine les mêmes formules dans les cinq autres cas de ce Tableau.

Prenons, par exemple, le cas 4° : a^ b^ c sont impairs, d esl

pair; la première transformation est V^ - — ^» en supposant

0L=z by ^ = b — «, y = d, 8 = rf — c. On vérifie bien que a, p, Y) S sont les coefficients d'une transformation qui appartient au cas 1°; on a donc

en remplaçant t par — -. on a ensuite

puis, en remplaçant t par t + i ,

D'ailleurs, d — c étant impair, on a la congruence

2(d — c)*=2 (mod. i6); d'où l'on déduit facilement la congruence

{d—c){id — c — i = c(û? — c)-hi (mod. i6);

LES FONCTIONS 2r. «jS

on a donc finalement, dans le cas 4°)

En répétant les mêmes opérations dans les quatre autres cas du Tableau (XXq), on obtient des formules analogues, et l'on a finalement pour la fonction <p(t), dans les six cas de ce Tableau, les formules de transformation suivantes :

cd ■+■ il*— 1 fic-hn* — l

cd , >. {n — h){a — h + c — d\

— C</ -•- </«— 1 rtr -t- rt*— I

<P(t) Cp(T)

/c-^dz\ -cd-^c*-l bd-*-b*-i

cp(T:)

204. Il n'est pas nécessaire, pour obtenir ces formules, de ramener, comme nous venons de l'expliquer, chacun des six cas au premier.

Nous avons vu au n° 202 que l'on peut envisager la transformation ( T-) du cas 4°> où Oj 6, c sont impairs et d pair, comme

composée de la transformation (^ — ôi)> ^^^ a = 6, 8 = d — c sont

impairs, tandis que p = b — a, y = d sont pairs, transformation qui rentre donc dans le cas i'^, et de la transformation

y )• On peut de même envisager la transformation ( j-

da cas 6**, où a est pair, tandis que b, c, d sont impairs, comme

composée de la transformation f^^ — ^jyoù. ol-= b^ ^ = b — a,

Y = <i sont impairs, tandis que ù = d — c est pair, transformation

qui rentre donc dans le cas 4°i et de la transformation ( — j>

de sorte que Ton a, dans le cas 6°, non seulement la décomposition de la transformation (t) donnée au n^ 202 en une transfor« mation qui rentre dans le cas i^, suivie des transformations (t + i)i

( U mais aussi la décomposition

/ c -i-dz\ /d-\-(d — c)'Z ! \

de cette transformation (x) en une transformation qui rentre dans

le cas 4^j suivie de la transformation ( j •

On verrait exactement de la même manière que Ton peut envisager les transformations (^ — r- j des cas i**, 3**, 5°, a** comme résultant de la composition d'une transformation (- — g- j> où a = 6,

p=6 — a^^ = dj 8 = rf — c, transformation qui rentre respectif vement dans les cas 6^, 2^, 3^, 5*^, et de la transformation

Observons d'ailleurs, sur l'exemple du numéro précédent, que la formule pour çf -^ — ^ ] s'obtient, dans le cas 4°, à l'aide de

la formule pour (fi- — ITr supposée connue dans le cas i**, en

changeant dans cette dernière formule simultanément a, 6, c,

rf, T en 6, 6 — a, rf, rf — c, ;:• Les mêmes changements

simultanés permettront donc aussi, lorsqu'on connaîtra une des formules relatives aux cas 4**> ou 6°, ou 2°, ou 3°, ou 5°, d'écrire immédiatement la formule relative respectivement aux cas 6**, ou 1°, ou 3®, ou 5°, ou 2°. 11 suffit donc d'avoir les formules relatives aux cas i^ et 5*^, par exemple, pour avoir toutes les autres. Le même raisonnement s'applique aux diverses décompositions indiquées dans le n^ 202. Le Tableau suivant résume les résultats et permet de passer des formules qui concernent Tun quelconque des cas du Tableau (XXe) à celles qui concernent les autres cas. Dans les cinq premières lignes on a écrit, à côté des lettres a, 6, c, dy T, les expressions qui doivent les remplacer : en regard de

LES FONCTIONS 2r. -75

es expressions el à côté des n*** i**, a**, 3°, 4"> 5°? 6°> on trouve s numéros des cas qui remplacent respectivement ces six cas.