Changeons aussi, dans l'égalité (x), t en : il viendra
Ih
D'autre part, en remplaçant dans la même égalité (x) les nombres «, 6, c, d par les nombres — i, «, — rf, c, on aura
Ih — V = î- — ^ T.i-\- 7log[— (— 6-f-aT)*] H- lh(T),
et la comparaison de ces deux expressions de Ih ^^^ ^ 1 va
nous fournir une nouvelle propriété du symbole [a, b\ On a établi (n« 185) la relation
qui équivaut à la relation
comme on s'en assure immédiatement en supposant a = o, 6= i dans la formule
iri
établie au n^ 218 pour un entier positif quelconque 6.
On en conclut, puisque Jh(T) est Tune des déterminations de
logh(T),
Ih {- ^-^ = ^log(- -:«) -h lh(i:) -h lAirt,
LES FONCTIONS d. lOI
Jç étant un nombre entier qui, toujours en vertu du raisonnement jtfait au n° 181, ne peut dépendre de t, puisque les trois fonctions
Ih
(-J)> l0g(-X«), Ih(T),
sont univoques et continues pour les valeurs de t représentées par ^es points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles ; d'ailleurs, jpour T = I, on a évidemment Xr = o ; donc, on a dans tous les cas
lh(-l) = -ll0g(-X«)-f-lhT,
!t, par suite.
[a.b'\->r a ->r d [—6, al — 6-hc i
■ TZl — izi '
"i-Hï]
, 11 b \ia 4
f — ^ Iog[— (- ô -4- ax)«] -h i log(— T») = o.
224. Supposons maintenant a>-o, 6>- o et faisons la remarque préliminaire que voici : Si x est représenté par un point situé au- ■^essus de l'axe des quantités réelles, on pourra prendre pourl'ar- ^^ment i de j? un angle compris entre o el tt; l'un des arguments ^e — x^ sera 2Ç — u, et cet argument est compris entre — r^ «t -j-Tc; par suite, le coefficient de i dans log( — x^) sera précisément 2Ç — Tî, en désignant par log( — x^) la détermination principale du logarithme.
Soient donc \ [x, v les arguments, compris entre o et tt des
nombres t, aT — 6, a qui tous ont pour coefficient de i un
nombre positif. Observons que l'on a [x > )^ : en eflet, pour construire le point a'z — 6, on peut construire d'abord le point ai qui se trouve sur la même direction, 'parlant de l'origine, que le point T, puis avancer ce point, sur une parallèle à l'axe des quantités réelles, dans le sens des quantités négatives, d'une longueur égale à b : dans ce dernier mouvement,'il est clair que la direction qui va de l'origine au point mobile tourne dans le sens des rotations positives. Puisque l'angle jjl — )^ est positif, inférieur à Tc el que cet angle est une des déterminations de l'argument de
> il ne peut différer de v. Il résulte de là que le coefficient
de i dans est
2V — 1T-4- 2X — 1T — (a|fx — ir) = — 1T.
Dès lors l'égalité {^) conduit à la relation
[a, 6]-*-a -+- rf [ — 6, a] — 6 -+- c
qui, en remplaçant [ — 6, a] par — [6, a], donne
Cette relation suppose a, b positifs ; mais il est aisé de voir, en faisant usage des relations (i), (2), (3), que l'on a, dans tous les cas où a et 6 sont différents de zéro,
(6) a[a, 6]-4- 6[6, a]-4-a*-+- ô'H-i — 3a6 %%nab = o,
en désignant en général par sgnA, où a est un nombre réel quelconque différent de zéro, l'unité affectée du signe 4- ou du signe — suivant que a est positif ou négatif.
