Cette relation (6), jointe à la relation

a -H nby ^]= [a, 6],

permet, dans le cas où a n'est pas nul, de ramener le calcul du nombre [a, 6] défini par l'égalité (x) au cas où le nombre a est égal à di I . En effet, la dernière relation montre que l'on peut toujours remplacer a par le reste de la division de a par 6, en d'autres termes supposer | a | < | 6 |; cela fait, la relation (6) ramène le calcul de [a, 6] à celui de [6, a]; on remplacera encore b par le reste de la division de b par a, etc. Les nombres que l'on substitue successivement k a, b sont les nombres mêmes que l'on trouve comme restes dans l'opération du plus grand commun diviseur; puisque a et b sont premiers entre eux, deux restes consécutifs sont toujours premiers entre eux et le dernier reste est dzi, en sorte qu'on est ramené à calculer [± i, et].

226. Le calcul des nombres [i, a], [ — i, «], où a est un entier différent de zéro, n'offre aucune difficulté.

La relation (6) donne en effet, en y supposant 6=1,

a\a^ i]H-[i,a]H- a*-+- a — Sasgna = o;

^omme, d'après les relations (5) et (4), on a

[ûf, i] = [o, 1] = 0,

^Q peut écrire ^y) [i, a]= Sasgna — a* — 2 = — (a — sgna)(a — asgna).

^û déduit d'ailleurs immédiatement de la relation (3) que l'on a

ains tous les cas, la recherche du nombre [a, 6] est ainsi rame- ^^^ à. des opérations purement arithmétiques.

*1 serait aisé de démontrer que ce nombre est toujours pair : 'ïOiJMs ne nous arrêterons pas à cette propriété dont nous n'aurons P^^ V^esoin.

'. Nous calculerons encore a, 2] et 2, a]. doit nécessairement supposer a impair; en ajoutant à a un ^'"•^lore convenable de fois 2, on ramènera a à être égal à l'unité; ^■^^ la formule (7) montre que [i, 2] est nul; on en conclut

a ensuite

a[a, 2]-4-2[2,a]4-a*-+-5 — 6a sgna = o,

- , a*-+-5 — Casgna [2, a] = 2 — .

T^ ""i^. Notre but est de ramener le calcul du symbole [a, 6] à j. ^ ^ -^ d'une autre expression qui joue un rôle considérable en

.métique et que l'on désigne par le sj^mbole

introduit par Legendre et généralisé par Jacobi : c'est M. Hermite qui a montré (*) le rôle de ce symbole dans la théorie qui nous occupe, rôle que Jacobi avait d'ailleurs soupçonné (^).

Ce symbole peut être défini dans le cas où les nombres a, b sont des entiers impairs premiers entre euK dont Tun au moins est positif, par les propriétés suivantes :

1° Si a est positif, on a

a" La congruence

a^.a' (mode),

où d est comme a un nombre impair et 6 un nombre positif, entraine

3"" On a, en supposant que l'un au moins des deux nombres a et b est positif,

4° On a enfin, en supposant a > o.

La propriété 3** est ce que Ton appelle la loi de réciprocité.

229. L'existence, pour chaque couple de deux nombres impairs rt, by premiers entre eux et qui ne sont pas négatifs en même temps,

d'une fonction numérique ( v ) qui jouisse des propriétés précédentes résulte en Arithmétique de la signification du symbole (t)

dans la théorie des restes quadratiques comme aussi de diverses expressions analytiques que l'on en peut donner. Nous n'avons pas à y recourir, car cette existence nous sera assurée par la question

(') Journal de Liouville, a* série, t. III, p. 26. (•) WerkCy t. III, . 189.

LES FONCTIONS d. I05

^^^ ^me qui nous occupe : nous avons seulemenl à observer que, ^^ Ton admet cette existence, les propriétés i°, 2", 3**, 4° per-

«ttront de calculer le nombre f v ] toutes les fois que les nombres

-^ b seront donnés.

En effet, la propriété 1° permet de supposer toujours que le dé- *^«ominateur du symbole est positif. Si maintenant a est plus grand

valeur absolue que 6, on déterminera le nombre entier n par

s conditions

t l'on remplacera a par celui des deux nombres a — 2/16, — 2 ni — 26 qui est, en valeur absolue, moindre que b ; soit «1 e nombre choisi, qui est évidemment impair et premier à 6; on aura à cause dé (2),

m-iî)-

Si ai se trouve être égal à dz i , la propriété 4"* donne la valeur du symbole ( t ); s'il n'en est pas ainsi, on ramènera le calcul de

(-^ j au calcul de ( — j par la formule

qui résulte de 3**; on traitera ( — ) comme on a fait pour ( g )» et

comme, en continuant ainsi, les termes des symboles successifs sont des nombres entiers de plus en plus petits en valeur absolue, on finira toujours par être ramené à calculer un symbole

de la forme ( -t~) à dénominateur impair positif, symbole dont la valeur -+-1 ou — i sera donnée par la propriété 4®-

Dans cette suite d'opérations, chaque symbole ( r) est égal à celui qui le suit, ou à son inverse, multiplié par =b i . Comme le dernier symbole (^-^ ) est égal à zh i , il en est de même de tous

ceux qui le précèdent et du symbole (j-j lui-même.