Observons que le même raisonnement et les mêmes con
]o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
clusions subsisteraient si, en conservant les propriétés 2**, 3**, 4**» on remplaçait la première propriété par la suivante
le symbole (-rj ainsi déGni serait encore égal à di i et par conséquent serait exactement le même que le précédent.
Dans Tun et Tautre cas la loi de réciprocité peut être remplacée par la formule suivante
Enfin nous aurons encore besoin de la définition du symbole (?)
quand a est pair; b est alors nécessairement impair, si l'on veut que les nombres a, b soient premiers entre eux. Nous conviendrons alors de prendre
/a\ (a^nb\
n étant un nombre entier impair tel que des deux nombres impairs a + /i6 et b Tun au moins soit positif; la définition est
évidemment indépendante du nombre n et le symbole ( — r — ) se calculera par la règle précédemment exposée.
231 . Après cette digression sur les seules propriétés du symbole (-rj dont nous ayons besoin pour le moment, rappelons que, dans
l'expression (0) de h(T), c'est la quantité e " qui figure. D'après
la relation (li), cette quantité est égale à e"* . Les pro-
priétés (i) . . . (7) du symbole [a, b] amènent à rechercher quelle est sur cette expression, rinfluence de rinlerversion des lettres a, 6, à laquelle il faut faire correspondre le changement de c, d en — d, — c de manière à vérifier l'égalité
Soit donc
LBS FONCTIONS 9r. IO7
siura
NH-N= -ï^-^ — ^^-^ — - — r f
ab
jpar conséquent,
N«/ N'ICi lt* , .,
-rp -TT -r-ign(iîA)
^^ertu de l'égalité ad — bc = \ et de la relation (6), qui montre ^ N-f-N'estégal à 3sgn(a6).
;32. On est amené à chercher à modifier, par Tadjonction d'un fa^^i^'^-eur convenable, la racine vingt-quatrième de l'unité considérée d ^^ s=Qanière que le produit qui remplacera
e »» X e " ; égal à
[ieu d'être égal à e *
ornons-nous d'abord au cas où les nombres a, b sont impairs ositifs. Le problème posé sera résolu si Ton trouve une fonc-
* ?(^? ^7 ^î <^) V^^ représente toujours un nombre entier et
« que Ton ait
<p(a, 6,c, d)-^ 9(6, ay — d, — c) = — 3(a — i)(6 — i)— 3, 00 aura alors
c « xc » =e * ' " =(-0 *
LOn a. ^crit cp et f' à la place de ç(a, 6, c, rf), <p(6, a, — rf, — c)]. ** **^quation de condition peut s'écrire
?(«, fc^c, rf)-h9(6, a, — rf, — c) = 3(rt-+-6 — 2)— 2a6-ha6(6c — arf),
*^*^ voit qu'on y satisfait en posant
«p(a, 6, c, d)= 3(6 — i)-H a6*c — ab — ac — bd.
. Nous sommes ainsi amenés à considérer la fonction des "^^'^ nombres a, b, c, d définie par l'égalité
I08 CALCUL DIFFÉBBNTIBL.
OÙ M est un entier défini par Téquation
M = ^-^^-+-[g^^] ^ 3(^ __ ,) 4. aftîc - aô - ac - bd.
Nous n'imposons plus, pour le moment, aux nombres a, h d'autres conditions que d'être premiers entre eux et nous allons, dans cette hypothèse, établir les propriétés de la fonction (a, 6, c, d). Tout d'abord, elle ne dépend que des deux nombres a, 6, car si l'on y remplace c, d par c 4- na, d + nô, M est remplacé, comme il est aisé de le voir, par
or l'un des nombres a, b est impair, l'un d'eux n'est pas divisible par 3; il en résulte que le produit (a^ — 0(^^ — 0 ^^^ divisible par 24 ; l'accroissement de M étant divisible par 24, la fonction (a, 6, c, d) n'est pas modifiée par la substitution à Cy d d^une solution quelconque de l'équation indéterminée ay — bx = i . C'est ce que l'on avait annoncé.
11 conviendrait d'après cela de faire disparaître c, d du symbole (a, 6, c, d) et d'écrire par exemple (a, b) au lieu de (a, 6, c, d). Nous conserverons cependant la notation (a, 6, c, rf) pour faciliter au lecteur l'intelligence des calculs qui suivent. Il est entendu que si, a, b étant donnés, on adopte pour c, d une solution de l'équalion indéterminée précédente, on pourrait tout aussi bien en adopter une autre.
234. Des calculs très faciles montrent qu'aux propriétés (1 — 9) établies pour le symbole [a, b] correspondent pour le symbole (a, 6, c, d) les suivantes
(a -h b^ ùjC -h dya) = e^^ {a,b,c^a),
{Oy b, Cya){bj a, — a, — c) = e * ,
— T-(— ««-t-J— Jigna)
LES FONCTIONS d. lOQ
235. La troisième de ces formules coïncide avec la loi de réciprocité relative au symbole (-rj quand ab est positif : nous nous rapprocherons de ce dernier symbole en introduisant à la place de (a, 6, c, d) le symbole t relatif à deux entiers quelconques a, b premiers entre eux et défini par Tégalité
(?) («, ^c, rf)= I jj
Aux propriétés précédentes de la fonction numérique (a, b, c, d) correspondent les propriétés suivantes de la fonction numérique
I T I» où a et 6 sont premiers entre eux,
TZt
b 1 r«l ^■^b{b*-\)[lC-k-d)
— ^[(rt-l){&-i)-(»gnrt-l)(«gn^-l)l
En écrivant, en dernier lieu, - > on suppose naturellement que a soit impair. La troisième de ces formules pourrait être regardée comme la loi de réciprocité relative au symbole ? •
236. Dans la seconde de ces formules figurent les nombres c, d dont elle est indépendante. En effet, si 6 est impair ou s^il est divisible par 8, le nombre b{b^ — i) est évidemment divisible par 24 ; dans ces deux cas on a
et, en général,
si a est congru à a'(mod. 6). Si b est le double d'un nombre pair sans être divisible par 8, b{b'^ — i) est divisible par 12 et, comme 2 c H- rf est impair, on a
no CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Enfin, si b est le double d'un nombre impair, comme on a
a(2C-4-rf) = i-4-c(6H-aa),
et que 6 -h 2a est divisible par 4) on en conclut que 2C + rfest de la forme 4 /H- i ou de la forme ^n — i suivant que a est d'une forme ou de l'autre. On a donc
où il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que a est congru à + i ou à — i (mod. 4)«
Il résulte aisément des diverses propriétés du symbole I v 1
que ce symbole est toujours égal à l'un des quatre nombres dz i, ± I. Il suffit de raisonner sur ce symbole comme on a fait au
n° 229 sur le symbole ( | j •
237. Dans le cas où a, b sont des nombres impairs dont l'un au moins est positif, on voit que l'on a
La dernière formule suppose naturellement que a soit positif. On en conclut que si a, b sont deux nombres impairs, premiers
entre eux et dont l'un au moins est positif, le symbole -r 1 est
identique au symbole ( ^ ) de Legendre, généralisé par Jacobi. Lorsque a est pair et b impair, on doit prendre
f a\ /a-r-nb\
[b) = [—ir-)'
OÙ n désigne un nombre impair; mais alors a-\- nb étant impair et l'un des nombres a -h nb, b étant positif, ^ "^ ^ est iden-
LES FONCTIONS r. III
tique à ( — t — ) en vertu des remarques antérieures relatives
Le symbole \-r\ est donc identique au symbole ( r) dans tous
les cas où ce dernier symbole a été défini : il doit en être regardé comme la généralisation.
238. Si l'on applique successivement les relations (8), (v) et (p), on a
•Tti , ——-(8(&—l)-Hrt&«C — rt& — rtf — /></]
[a\ —-r4(9b-k-ab^c
— ab — ac — bd — Z syn b)
En réunissant les résultats acquis, on voit donc que l'on peut mettre dans tous les cas la relation (S) sous la forme
<XLVi,) h(T)=^UJe « \/— (a-4-^T)«h(T),
l'argument de ^ — {a -f- 6t)^ étant compris entre — - et + j et
le symbole j- étant défini par les propriétés ci-dessus du n° 237 qui permettent de le calculer.
239. On en déduit immédiatement les valeurs des racines huitièmes de l'unité e, e', e", e"' qui figurent dans les formules (XLII). D'après la formule (p), on a, dans tous les cas,
h(T) = e' /a -f- bz li(x).
En élevant au cube les deux membres de cette relation, puis remplaçant h3(T) par sa valeur tirée de la relation (XLV15), on a immédiatement
r "13 ftb-hnc-i-hti — ocb^ — :ib
(XLII.) £ = I^IJ i i ,
d'où, par les formules (KLIly^g)?
lia G4LCUL DIFFÉRENTIEL.
Le problème posé au n** 179 est donc résolu.
240. On peut écrire la formule (XLV15) d'une manière un pa différente de façon à n'y faire flgurer que le symbole de Legendr Jacobi.
L'un des nombres a, b est impair et comme Ton peut dai
T = T- changer les signes de a, 6, c, rf, on peut toujou:
supposer que c'est le nombre dont on sait qu'il est impair qui e positif.
On distinguera donc deux cas :
1° b impair et positif. Alors on a
et, comme on l'a vu au n° 218,
/— (a H- 6t)* = e * /a -h ^ T , la partie réelle de la racine carrée étant positive. Mais, comme b est positif, on a aussi
si l'on entend par \] — i(a -h b-z) celle des deux déterminations c la racine dont la partie réelle est positive : les arguments des deu
quantités e yja -\- 6t et \/ — /(a -h 6t), dont les carrés soi
égaux, sont, en effet, tous deux compris entre — ^ et -h 7-
On a donc, dans ce premier cas, puisque b'^ — i est divisibl par 8,
(XLVie) h(T) = (y)t* e ** ^— i{a-\- bz)\i{z),
2** a impair et positif. En appliquant la loi de réciprocité d symbole -r donnée au n® 233, on a, puisque a est positif,
-^'(fl-i)(ft-i) e ^
LES FONCTIONS ^. Il3
Mais, puisque a est impair, — est certainement identique à ( - )' dont la valeur est H- i ou — i ; on peut donc écrire
D'ailleurs, comme on Ta vu au n^ 218, on a aussi
la partie réelle de la racine carrée étant positive. On a donc, dans ce second cas.
Le coefficient de dans l'exponentielle est égal à
3(i — a)-h2a6-i-ac6* — ac — bd = 3(i — a) -^ ab -^ à^ bd — ac — bd\ on aura donc finalement
rt — I 7t /
(XLVI») h(T)=(-jt * e " /a-h6Th(T).
Les formules (XLVIs.c) ont été données par M. Weber(*), qui en a présenté la démonstration sous forme de vérification.
241, On peut aussi écrire la formule (XLII5) de manière à
n'y faire figurer que le symbole (jj de Legendre-Jacobi ; il faut
encore distinguer le cas où b est impair et positif de celui 011 a est impair et positif. On arrive aisément aux résultats que voici :
1** Si b est impair et positif, on a 2° Si a est impair et positif, on a
(h \ ff (3 — A-f-r) — 3
(*) EUiptische Functionen^ p. 100.
T. et M. — II. 8
Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si Ton suppose que a et 6 sont impairs et positifs, ce qui ne peut arriver que dans les cas 3** et 4** du Tableau (XXe), les deux formules coïncident, comme il résulte immédiatement de la loi de réciprocité et de la congruence
ab — ac-{-bd — ia — 26-Ha^o (mod. 8)
qui a lieu en vertu de la relation ad — 6c = 1, lorsque des quatre nombres entiers a, 6, c, d, un seul, c ou d^ est pair.
§ VII. — Transformation quadratique des fonctions Thêta.
242. Aux formules précédentes qui concernent le cas où les quatre entiers a, 6, c, d caractérisant la transformation considérée sont liés par la relation ad — 6c = 1, viennent s'ajouter, comme dans Tétude des fonctions du^ ^olUj d'autres formules qui concernent le cas où le déterminant ad — bc est un entier quelconque. Cet entier est Vordre de la transformation. Nous envisagerons d*abord le cas où il est égal à 2.
Le raisonnement du n** 130 s'applique aux fonctions ^{v) aussi bien qu'aux fonctions (^{/, ^^u^ avec cette restriction que les systèmes de demi-périodes improprement équivalents au système (a)|, (1)3) sont exclus (n** ISl) pour les fonctions 2f(^). Il suffit donc de considérer la transformation d'ordre 2 où l'on change (i>|
en — sans changer 0)3, ce qui revient à changer p en 2^^ et t en 2t, et la transformation d'ordre 2 où l'on change 0)3 en ~ sans
mière de ces deux transformations est la transformation de Landen,
la seconde est la transformation de Gauss.
changer o)|, ce qui revient à changer simplement t en -• La pre-
243. En combinant les formules concernant ces deux transformations et celles que Ton en déduit immédiatement concernant les transformations inverses, entre elles et avec celles déjà établies qui concernent la transformation linéaire, on aura toutes les formules de transformation quadratique des fonctions ^{v)* Les formules de transformation dont l'ordre est une puissance entière de 2 s'obtiendront de même, par la combinaison et la répétition des transformations précédemment définies.
et:
LES FONCTIONS &. Il5
244. Mous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les /onctions 2r(2^|2T), d'autre part les fonctions 3 ((>-]> au
mojen des fonctions 5{v |t).
-ZVous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des /onctions rf M, <^ai/, par de petites capitales, les constantes relatives
^i2:s^ fonctions rffi/—> 0)3), (^«(w rr^Ws) et 5{2v\2'z). Ainsi QOM.^s poserons
Q = qt = glTTC/^
V = <» V = oo
JIi) { V = l V = l
«t = JJ(I + 9«<«v-«)), Q, = JJ(I - 5r«(Jv-l)).
quantités q, Qo, Qi, Q2» Qs sont d'ailleurs liées par les relations algébriques (XXVIIl5 6) que les quantités q, Çq^
>iis désignerons de même par de petites capitales accentuées <:»nstan tes relatives aux fonctions (^ (w| toi, — ], <3'a( m| Wj, — )
Ci» - ) • A-insi h/
Oi = JJ(i-g^), O'i = 1^(1 + 9"),
a évidemment, d'après les expressions de q©, Qs,
on tire inversement
Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
De même, d'après les expressions de q^, q\, q^, q',, on a
^o=0'oOi, qz= Qioi= rr»
d'où l'on tire inversement
(XLVIIl,) q'o = qoqz, Q'i = r- = ^i^«-
245. Transformation de Landen, — Si l'on passe des foi lions (^, (^a aux fonctions 2r au moyen des formules (XXXIII| on a le moyen d'exprimer les fonctions 2r(2t'| 2t) au moyen ( fonctions ^{v \ t). Par exemple, la formule (XXIIj )
(ïiU — > (1)3 j =
donne immédiatement
27CQ3Q*^ 271^» ^S^î
A cause de la valeur(XXIl4)de H|, on voit que le facteur exp nentiel est le même dans les deux membres ; on trouve ensu très facilement, en réduisant au moyen des relations déjà écri (XLVII2) entre Qq, Qj, ^o^n ^a, 73, 'a formule
On a d'ailleurs
il = ' ~ '
la dernière égalité ayant lieu en vertu des formules (XX? qui seront d'un usage constant dans ce qui suit.
On trouve de la même façon, au moyen de la formule (X]"
w — > W3 ) = e * c'jao'aa, I ^ /
la relation
Au reste cette dernière relation aurait pu aussi bien se d
relative à 2^1(2 i' | 21) en remplaçant i> par i^ -\ — et en se serdes formules (XXXIVe). On a, en £ffet, par ces formules
2r,(2i'-+-T I 2t)= iQ~*e-«'w2r^(2p| 2-:),
^l il suffit de remplacer dans l'égalité qui donne l'expression de âi ( 2 ç' I 2 t) , pour avoir celle qui fournit l'expression de 2^4 ( 2 (^ | 2 t). Inversement, par la mémo opération, on passerait de cette seconde formule à la première.
Si maintenant on fait la substitution des fonctions Sr aux fonctions (^ dans les formules (XXIlIj); si l'on remplace ensuite
v/^1 — ^2 > V^^i — ^3 par leurs valeurs (XXXVI2, 4)
2Cuj 2U)i
on obtient aussi
2Q*ooQî ^g'qlçi ^l(^i-9t)
D'ailleurs on trouve très aisément
2Q*QoQÎ î I
|^,^4 -AQoQI 2273(0 |2T)
On a donc
Exactement de même, en partant des formules (XXIII2), on trouve
4q^Qooî
.t^ ^j S'JC^J-^S'S)
et l'on a d'ailleurs
4Q^QoQÎ = 2^2(0 |2x).
Il8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
246. Oa prévoit que Ton doit pouvoir transformer l*une dans l'autre les relations qui fournissent les expressions de ^2i^^\ 2'^)?
^2(2^1 2':)j en changeant v en v -^ — et en se servant des formules (XXXIVq). Mais tandis que, tout à Theure, ce changement ne nous a rien donné de plus que ce que nous savions déjà, il va, cette fois, nous donner des relations entre les constantes. Si, en effet, dans les relations du numéro précédent, on change ç en
i' H — 9 on trouve, après des réductions immédiates, ^»<»''l">= ï^ [aî(«')H-âJ(0]=^-^|^)[&î(^)-H&i(.)l;
&.(*PhT)= — pi— Pî(p)-arî(0]= — ^î^-p-[&i(..)-&î(p)].
Ces formules comparées aux précédentes donnent
I I 2Q*QoQÎ 2rj(o|2x)
(XLVIlii)
1 I j QoQJ 3r3(o[2T)
On a donc
Or / I X ^l{^)^i(^)
^ 2^3(0 |2t) 23rj(0|2T)
et l'on a, d'autre part,
rXLVII ^ i ^^i(ûU^) = ^!(o)-^!(o),
^ *^ I 22rî(o|2x) = 2rj(o)+2rî(o),
relations auxquelles il convient d'adjoindre les relations suivantes obtenues en faisant ç» = o dans les deux dernières formules de
transformation et dans la première divisée préalablement part^,
/ 23r,(o|2T)&3(o|2x) = &î(o), (XLVIf4) &|(o I 2x)- 2r,(o)2r4(o),
Les deux avant-dernières formules sont d'ailleurs une conséquence des relations (XLVII2)
de même que celles qui les précèdent équivalent à celles-ci
(XLVfl,) \ ^
Ainsi, comme on a q'"*= q, on voit que les quantités Qo, Qi, Q2, Q8 s'expriment algébriquement au moyen de Çj q^^ qt, q2j qz- De même pour les fonctions 2r,(o|2T), 2r2(o | 2t), 2f8(o|2t), 2r4(o| 2t) et les fonctions 2r, (o), 2^2(0)» 2r3(o), 2^4(0) de la variable T.
247. Transformation de Gauss, — Les formules (XXlVj, XXV|3) qui expriment (^(//|ti)j, ~)> ^af^l^o — ') au moyen de (^(i/ I o)i, cos), rfoi(w I a)|, 0)3), permettent d'exprimer, d'une manière toute semblable les fonctions 3r/ ç; - j au moyen des fonctions 2r(i^|'c;. Nous ne développerons pas les calculs qui présentent exactement les mêmes circonstances que ceux de la transformation de Landen, que nous venons de faire.
On trouve directement, au moyen des formules (XXIVi, XXV|\
O'QbQi*
