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et l'on passe d'une formule à l'autre par le changement de i^ en i'-f--- Au moyen des formules (XXV2 3), et en tenant compte

120 CALCUL DIPPÊRBNTIBL.

de la relation (XXIV4),

H, = 2Y)i-+-ejco,,

on a ensuite

oio','

Q'oo'«n^i('')-^î('')]

puis, par le changement de v en ç -\ — > d'où l'on conclut les formules

o;q'»'I^î(^-)-^?(«>)] gligï-^q'çi)

(XLVllI,)

et les relations

XLVIIU)

équivalenl aux suivantes :

^9^qlq\ = Q'n^\'-Q','l

t les deux premières ont déjà été établies au n° 244.

>n peut vérifier que les relations (XLVIII4) sont, au fond, itiques aux relations (XLVII4) ; on passe des unes aux autres

changeant t en -•

48. Les relations (XLVII2) qui lient algébriquement les quan- * <7» ?0î 9i? <l2y 93 aux quantités Qo, Qi, Q2, Q3 et les relais (XLVIII2) qui lient algébriquement les quantités Q', QJ^, Q'2? Q3 ^"^ quantités q^, q^^ (72, qz permettent d'établir des nules intéressantes concernant la transformation quadratique fonctions modulaires h(T), 'f (t), ^(t), /(tt). a définition de la fonction h(T) donne

levant les deux membres au carré et en faisant usage de la re-

s n (XXXVI2), ^2(0) = 'xq^q^q'' ^ on a donc

Q a de même

» en faisant usage de la relation 2r<(o)= 'J'o^jj

^a.ngeant dans celte dernière égalité t en t -f- 1 . et en faisant ' des égalités (XLIII,2) et (XLV,),

^4(0 I T -t- l) = ^3(0), h(T -+- I) = V^th(T),

^\issi

249. Si Ton résout par rapport à q^^ q2, q% les équations (XXXVlIIi^ 2, s) qui définissent ç(t), <Kt), x(t), on trouve

I <p(x) yiq^ 6/- 4t¥'^)

et Ton aura de même

En portant ces valeurs dans les relations (XLVII2)

on trouve, après des réductions immédiates, les trois formules

4'(aT:) 6/- 4;(x)

A cause de la relation y3(T)= cp(T) ^(t), la première de ces formules peut s'écrire

(XLIXO 4'(^'c)?('c) = v/iïx('^)x(2'^)i

en éliminant /^^(t), on a ensuite, à l'aide des deux autres formules, les relations

(XLix.) çn^^)=i=^^ 4-K^t)=-^i;g>-.

A cause de la formule ç*(t)4- «j^^ (':)=: i, on a aussi

d'où l'on tire, en extrayant la racine carrée et en observant que les deux membres doivent être positifs pour t purement imagi-

LES FOSCTIO» r. '^-^

naire,

230. En remarquant que la lran?f>ntthli:«t ÇLtinti.ju»? '."-) équivaut à la suite de transformalion*

( I-rt, 2-:. — ;- 1— T

en appliquant ce résultat à la fooctioit y r t^ *.i crn mt compl*des formules (XLV) et (XLlXj . ol irurv* sàa? çrioi*

• XLIXt) /

Observons aussi qu'en change^iot t ti • [mu >>* t-rmuit-i précédentes, on en tire

*'a)'r:-îH-

251. Enfin les résultais précédât* Bwiwtttnt tn...,r.- .1..- r.,mener les fonctions », ■{», •/ i ], t^i^ i-,^,^,.^^ [^

Dans la formule Q'o = 7«7ir cltt09Mi»-« , -„, .i-.:

»"; • li.iii»'

par Q; ce que devient le premier ««ire: c.am* y, n.manifestement pas, et que y, se 1^1.^.1^3^ ^ ^^^ .^^ |^^^^^

Soit aussi on aura

d'où, en se reporlanl aux eifu,^,,^ *; U -

^(t), on trouve de suite

Cp(T) =

/-li/-. h(2T)

(XLIXg)

Nous nous contenterons d'observer (*), relativement à ces formules, qu'elles permettent de déduire les formules de transformation linéaire des fonctions modulaires ç(t), <Kt), x(")» ^^ celles que nous avons établies pour 1i(t). On obtient ainsi, dans les six cas du Tableau (XX^), des formules équivalentes aux formules (XLVIj..2), mais affectant une forme différente.