XLIX

IT

qt=e

qui expriment q^, q^y q2j q^ en fonction de t, se déduisent immédiatement des formules de définition des fonctions A(t), ^{'^)y ^(t), 7^(t) et des formules (XLlXg).

253. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de ^^(ai'), Sfa+i (^t') au moyen des fonctions 2f(i').

La première des formules (XLVII3), par exemple, peut s'écrire,

( * ) Cette intéressante remarque est due à M. Dedekind \,lL^ber die Théorie der elUptischen Modul/unctionen {Journal de Crelle, t. ij/lll» p. 283). Dans les EUiptische Functionen de M. Weber, les résultats sont donnes pour les fonctions

en changeant t en -?

mais, d'après la formule (XLVIII3), on a

H'ilh

donc, comme^ d'après la formule (XLV1I[«), on peut remplacer Sfj/o -) par le produit 22!-2{o\x)^3{o |t), on obtient la relation

On a de même

(L) { :jj(2t')=