VIII. — Transformation d'ordre impair des fonctions

S54. Dans Tétude de la transformation des fonctions Ô, nous n^avons envisagé jusqu'ici que les cas où Tordre de la transformation est égal à I, à 2 ou à une puissance entière de 2. Nous allons étudier maintenant les transformations dont l'ordre est impair et positif, transformations qui se ramènent (n** 130) à celles

où l'on change a)| en — sans changer 0)3, ce qui revient à changer V en nv et t en rfz, à celles où l'on change 103 en — ^ sans chan-

gercoi, ce qui revient à changer seulement t en -> et aux transformations inverses.

En combinant les formules de transformation que nous obtien-

drons ainsi (*) entre elles et avec les formules de transformation linéaire et quadratique des fonctions Sr, on peut obtenir en effet, d'après le théorème démontré au n** 131, les formules de transformation d'un ordre quelconque positif (D. Il n'y a d'ailleurs pas lieu de considérer celles dont l'ordre est négatif, car nous avons supposé essentiellement (n** 151) que les coefficients des parties

imaginaires des rapports — et ~ des périodes à l'aide desquelles

on forme les fonctions 2r(i') sont positifs.

255. Nous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les fonctions 2r(/it'[nT), d'autre part, les fonctions Srfç' -j au

moyen des fonctions 2r((^ | t).

Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions du^ ^ai^j par de petites capitales les constantes relatives

aux fonctions rffw—j (1)8 j, (^«(w — > lOaj el ^{nv\n'z). Ainsi,

nous poserons dans ce paragraphe

V = oo V— 00

Q«=JJ('-g'"'*), Qi = JJ(' + ?'»"),