LI

V = l Vr=l

Qï = JJ(I + ^«tîV-l)), Q3 = JJ( , ^»(2V-1)).

Les quantités Q, Qo, Qi, Q2, Qs sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques que les quantités q^ q^^ ^1, q^^ q^. Nous poserons aussi, pour abréger,

2r;(o) L^ , i n?5\{o\nz) 1 mz [

2a>i ai u>i "^ 2(oi Al Wi "

' ^^(o) =^=2q\qoqK ^f{o\ nz) =^=2QîQoQ*,

^Uo) = -^ = qlqo, 2r^(o|/ix) =-^=Q|Qo,

a^ Al,

(*) Il suffirait même de ne considérer que le cas où l'ordre de la transformation est un nombre premier impair; mais cette restriction n'apporterait aucune simplification aux formules que nous allons établir.

LES F0NCTI0IY8 ^. 127

ce qui permet d'écrire comme il suit les formules (XXXI1I|4), qui relient les fonctions d aux fonctions Sr, et celles que Ton en

déduit en changeant coi en — ^ :

fît*** / f ii> \ ""t^**

au = ai c««t &!(!;), tff a!-î, tojj = A,e»^« 3r,(ni>|nx),

Ed substituant ces dernières formules dans celles (XXVIi ) qui expriment les fonctions dlu — > 0)3], (^«(w — > Wsj» au moyen des fonctions du^ (^a^^f nous aurons immédiatement

(r, %[-) Aa+i&a+i(««' I «■«) = «'««+1 &a+i («>) JJ

OÙ r doit prendre n — i valeurs entières dont aucune ne soit divisible par n^ non plus que la diflférence de deux quelconques d'entre elles, et où ç représente l'expression

— n— u > — iji-H a*Pi-h — h 7 27)iu>i ( h - ) T •

En se reportant à la valeur de H| (XXIs), on voit de suite que cette expression est nulle. On a donc finalement

(r) -^^a-Hl

Les constantes t^^ sont des fonctions de g. Il en est de même des produits

ir) (r)

n^-(:)=nf-«(''^)

qui figurent en dénominateur. On peut évaluer chacun de ces quatre produits en supposant que r parcoure seulement la moitié des valeurs qu'il doit prendre, c'est-à-dire, d'une façon précise,

en supposant qu'il prenne valeurs Ti, Ta, ..., r„, dont

aucune ne soit divisible par /i, non plus que la diCTérence ou la somme de deux quelconques d'entre elles; les — ; — valeurs restantes seront congrues, dans un certain ordre, suivant le module /i, à celles-là changées de signe, et le produit correspondant sera égal, au signe près, au produit que nous allons calculer, comme on le voit tout de suite en se reportant aux formules (XXXIVj^j).