Pour évaluer les produits
(' rrç/\ / rTZi\
ir)
//•=:ri, rj, ..., r„A,
reportons-nous aux formules (XXXIIj.g ^/j), et remplaçons-v . . ^vTii par
riti '*'r — c >
on aura immédiatement
pV=:ao
X JJ JJ(I - q'^'z}. ) (1 - griv,;
LES POINCTIONS ^. 129
puis
(,^lV.i)(,^ÎV^;î) ;
»7CI n
d'ailleurs, si Ton pose
t = e on aura
elle produit
TT([ — ^»Ver)(,^JVe-r)
est égal à
comme on le voit en se rappelant que les nombres
n'étant point divisibles par /i, nou plus que la différence de deux quelconques d'eatre eux, sont congrus (mod. /i), dans un certain ordre, aux nombres i, 2, . . . , n — i, et que Ton a, e étant une racine primitive /i»«™« de l'unité,
(i — ea7)(i — z^x).,.(i — e«-ïa?)=
On peut donc écrire
et, de même,
r- Qi TT^/-+'5r*
T. et M. — II. 9
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Quant aux produits
rr
cos
ils s'évaluent sans peine comme il suit. D'abord le signe du premier dépend du nombre de facteurs négatifs qui y figurent : or
sin — est positif ou négatif, suivant que la partie entière E{ ~) de -f définie par les conditions précises
n [nj
est un nombre pair ou impair; le signe du premier produit sera donc celui de
De même, puisque l'on a
cos — — sin
le signe du second produit sera celui de
D'ailleurs les nombres
étant certainement congrus, dans un certain ordre, suivant le module /i, aux nombres
les nombres
LES FONCTIONS 9r. l3l
sont certainement congrus, dans un certain ordre, aux nombres
=b I, ±2, .. ., rb y
en sorte que Ton a ( * )
. vTT sfn zti I ■ sin — = Il sm — =
n fLzi
( *) Voici Tua des procédés qui conduisent à ces résultats : L'équation
a pour racines les 2 /t — 3 valeurs de
On a d'ailleurs
sin -
klZ I 07^ — I
sin — — -. i ,>
etf en remarquant que 1 I ^^ est égal à i, on en conclut
Or si, dans l'équation proposée, on fait
on forme l'équation en u
(iH- «)•-•-+- (i -+- m)*-» + ...-+- I — 0,
dont les racines, qui ne sont autres que les valeurs dislincfes de J?J — i, ont pour produit (— i)"~'/i. On en conclut
. vr n
sin — = - — »
l32 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On en conclut d'abord
(Ï^Iî)
puisque les deux membres sont évidemment positifs. On en déduit
On trouve de même
Vit
1 1 cos
Vr=l
Vît
(•) La première de ces formules donne un résultat assez intéressant en supposant n = 3, r = I, à savoir :
ou
. {in -hi)ic
Qo= -^^(-O-^yPC-^Osin
et, en réunissant les termes où n est de l'une des formes 3/?, 3/? -f- 1, 3p -+- 2,
Q^ = V (— Org'FCF+O — \] (— l)/'^(V+«)(V+>),
enfin, en remplaçant q par j?«,
n = l n -zi
Cette identité est due à Euler.
LES PONCTIONS 2r. i33
