Si l'on pose avec Jacobi
( XXXVII2) ^k'=h(^-'- ^^ + ^ 7^ - ^ 7
on voit que l'égalité 2113(0) = ^\{o) -\- S*(o) prend la forme (XXXVII3) A-2+/:'2=,.
On déduit aussi des formules (XXXVI3) les relations
(xxxviio i^kJi^^,
V 61—63 (XXXVII5) v/F= ï^^^^,
qui entraînent également la formule (XXXVII3). Enfin, en tenant
compte des formules (XXXVIg), on a
(XXXVII.) //7 = .îi2l =,yH(i±l!«i^î^iii^:---l'.
et cette forme donnée à yjk et \Jk' invite à considérer \/k^ \/k' en tant que fonctions univoques de t.
171. Dans un Mémoire célèbre ('), M. Hermite a désigné ces fonctions par cp(':) et <i'('^) ^^ posant
(XXXVIII,) '^{x) = s/lq'^^,
q% où y/2 est la racine carrée positive de 2, et
Les égalités
(XXXVIII3) ç.(,)=|H2}=/Z,
(XXXVIIU) 6^(.) = |M^ = /^
sont manifestes.
En même temps que ces fonctions, M. Hermite a introduit (-) la fonction univoque de t
(XXXVIII5) X(^)= V^à?"^ — '
où \J 1 est la racine sixième réelle et positive de 2.
Les fonctions <p(t), <|'('^)5 x('^) ^^"^^ liées par les relations
(XXXVIIIe) Cp8(^)-4-<t;8(^)^I^
(XXXVIII.) ?('^)'!'(^) = zH-),
qui équivalent à nos formules (XXVIII j c).
(') Comptes rendus, t. XLVI, p. 5o8.
( ^) Jbid., p. 715.
LES FONCTIONS 2r. 3l
Nous joindrons à ces fonctions celle que M. Dedekind a désignée (') par 71 (t) et que nous représentei'ons par h(T) à cause de l'usage que nous avons déjà fait de la lettre r,. Cette fonction est définie par la formule
(XXXVIIIg) h(^) = ^"f^^o.
On voit immédiatement que les fonctions cp, t];, y, h sont réelles et positives pour une valeur purement imaginaire de t.
Signalons encore les fonctions/(T),y, (T),y2(T) introduites (-) par M. Weber
/(.) = , -A,. =1^, (xxxviir,) {/,(-.) = g-Ti g, =M^\
Ces fonctions et la fonction h(':) sont liées aux quantités Sra4.i(o|T) et ^\(o\x) par les relations évidentes et très symétriques
,' S'i(0|T) = 27rh3(T),
Les diverses fonctions de t que nous avons définies dans ce pa-
( ' ) Journal de Crelle, t. 83.
(^) Elliptische Functionen, p. 63. M. Dedekind a employé les mêmes notations/,/,,/], pour désigner les fonctions suivantes {Journal de Crelle, t. 83,
h3(T) 2'h'(2T) + h'(^) + ph'(l^)
OÙ p = e 3 .
Sa CALCUL DIFFÉIIENTIEL.
ragraphe jouent un rôle important dans les applications des fonctions elliptiques à l'Algèbre et à la théorie des nombres. Au point de vue analytique, il importe de remarquer qu'elles n'ont été définies que pour des valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles.
172. Reportons-nous aux formules (XXXIII) qui permettent de passer des fonctions da^d^^u aux fonctions '^i{v)^ 2ia+)(<^)- On obtient des identités importantes quand on développe les
deux membres suivant les puissances de (^ = — et que l'on égale
dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de V. Les développements des premiers membres, où figurent les fonctions du, d^ii résultent immédiatement des formules (IX, ) et (XI7); quant aux seconds membres, on n'aura qu'à y remplacer gîOiw,.^' par son développement en série et 2r,(p), STa+i (p) respectivement par
Choisissons, par exemple, parmi les formules (XXXIII), celles-ci :
En écrivant, d'une part, que, dans le développement de a" m, le terme en iC^ manque, de l'autre, que, dans le développement de
dr,u, les coefficients de u^ et de w'' sont ^> f| ^, et que,
par conséquent, les coefficients de v"^ et de v"* sont — 1e^^^i\ et ^ — 2 6^) w*, on trouve de suite
(l) 2Y]iWi::-
(XXXIX) {{1) -xr^.^.^-ie^^l--^^
6 &; (o) 2eawf —
La seconde de ces égalités équivaut à trois égalités; si on les
LES FONCTIONS 3r. 33
suppose écrites, qu'on les ajoute membre à membre et qu'on tienne compte de la relation ei H- eo-H- 63 = o, on aura
et, par conséquent, à cause de la première des égalités précédentes, on a aussi la relation très symétrique
rxxxix ) ^T(o) ^ ^'i (o) , ^3 (o) ^l (o)
En éliminant r, , entre la seconde et la troisième des égalités précédentes, on obtient la relation
$^-3|?^=8(,^,-i..^)cot; ar^j^i (o) ^i+i (o)
d'ailleurs les relations
^a-l- ^p-l- 6^= o montrent de suite que l'on a
et, eh séparant les divers cas possibles, on trouve immédiatement, au moyen des formules ( XXXVI -,), les suivantes
^^T-r — 3 • Jtttv =-2t:^^Ko)^Î(o)=— 32(e,-eo)(ei-e3)a>t,
(XXXIX5) \|^^-3S^^= 27r^2r|(o)2rKo) = 32(e.-e2)(c2- «3)^1,
l^^!-3Ï.^=-'>-^'*2rKo)Si(o)=-32(ej-.3)(e2-e3)a>l,
173. Signalons encore les résultats suivants, dont nous ferons usage par la suite.
Si, dans les formules
T. et M. - II.
on considère, dans les seconds membres, les termes pour lesquels Il est pair, on voit que leur ensemble n'est autre chose que 2^3(2^ 14'); les termes où n est impair sont, d'ailleurs, égaux et de signes contraires; on a donc
(XLi) 2^3(2^1 4^)= 2r3(t'|T)+2r4((.JT).
On aura de même
XL,) i.%{iv\^i)=^,{v\'z)-%{i>\'z).
Quand on fait, dans ces formules, (^ = o, on obtient par division, en posant
et en tenant compte des formules (XXXVIK^s), les relations
I — //c' s/cx — 63 — v^i — 62 2^-1-2 g'3-l- iq^^-\-. .
(XLO 6 =
Comme, en vertu de la relation (XXXIlIo), on a STaMjr) ,j tfi(M|toi, C03)
on doit avoir giussi, en remplaçant W3 par 4^35 '^ par 4', et, par suite, \jk par ^,
%X^\\;Z) ^ <^y(u\ tOi,4c03) 2^3(^^141) <3'2(m| 0)1, 41O3)'
ou encore, en changeant m en 111 et v en 2P,
3r2(2P I 4t:) , a'i(2M | toi, 40)3) ^ 2r3(2(^|4T)~ a'2(2a| w,,4w3)
D'ailleurs les formules (XL,) donnent par division, en tenant compte de (XXXIII,, i 2 )î
Er2(2p| 4t) 'àz{y\x)—'^^{v |t) y/e, — gg 0^2 » — /g| — ^2 g'a " . ^TTâVR^ ~ 2r3(i'|T)4-Sr4((;lT) ~ */«,— egCaM -t- v^ei — ejo-jw'
on a donc finalement la relation
, ^ j^ , , a't('2u|a)|,4tt>3) y/ei— estf 2(^1 toi, M:0 — \/ei— e^a'siii'l t^i,t^3)
C2(2«| toi, 4103)"" V^ei — e33'2(Mlu>,,W3)-i-V^ei— e2 3'3(«lWi,W3)'
dont on apercevra l'utilité plus tard.
174-. Nous terminerons ce paragraphe par quelques remarques relatives au cas où l'on a, q étant réel,
Quand les quantités (o,, -4 interviendront, nous les supposerons
réelles et positives (*); enfin nous ne considérerons que des valeurs réelles de i^. Les fonctions 2r sont alors des fonctions réelles d'une variable réelle.
Observons d'abord que les quantités Ço, q\, q^-, ^3 sont réelles et positives (XXVIII, ); on voit, en outre, que l'on a
5'o<i<g'i, qi<^<qt-
Il en résulte, à cause des équations (XXXVFo), que les quantités 27j(o), 2r2(o), 2^3(0), 2r,(o) sont réelles et positives : cette propriété apparaîtrait aussi bien, pour les trois dernières, sur les développements en série (XXXVIi); on a, en outre,
Les racines ei, Co, e^ sont réelles; la première est positive, la dernière est négative ; on a
ei>e2>e3;
les quantités y/e, — 63 , y/e, — e-j, sont réelles et positives, la quantité y/e2 — ^3 6St négative; tout cela a été démontré au n° 121 et résulte à nouveau des formules (XXXVI7) et (XXXVI4).
La quantité th est réelle : elle peut être positive ou négative, ainsi qu'il résulte de la formule (XXX4) qui montre clairement
(') Le lecteur traitera sans peine le cas où w, i et w, sont des quantités réelles et négatives, cas auquel q est réel et vérifie aussi l'inégalité o <^ <i. On passe d'ailleurs de ce cas au cas considéré par la substitution £i, = w,, Q.^ — — w,.
que l'équation en rj^
admet une racine réelle et une seule comprise entre zéro et un. Les formules (XXX|3) montrent que des trois quantités Ci H- — ,
e.-,-\ j <?3 -h — 1 les deux premières sont positives et la troisième
négative; d'après cela, et en vertu des équations (XXXIX2), il en est de même des trois quantités — '^".,{0)^ — '^\(p), — 2»^ (o) ; la quantité ^"[{o) est (XXXIX,) de signe contraire à '/i,.
175. Considérons maintenant les fonctions 2r, (p), 2r(x+i(^^)-
Le signe de ces fonctions pour les valeurs réelles de v apparaît de bien des façons : le plus simple est de recourir aux décompositions en produits infinis (XXXIl5 g) qui montrent que S»)(i^) et ^i{v) ont respectivement les signes de sinrir et cosptî, et que les fonctions .3?3(r), ^^[v), qui ne s'annulent pour aucune valeur réelle de c, sont toujours positives.
Les formules (XXXIV2 3) montrent qu'il suffit d'étudier la variation (') des fonctions .2î| ((^), ^^[ç), '^^[v), ^^[v), en faisant varier (^ de o à 1 .
En prenant les dérivées par rapport à v, on tire immédiatement de l'équation (XXXIII7)
dv ?Si{v)
Quand v augmente de o à -> « = 2W( t^ augmente de o à W| et pu diminue de + oo à (?( : le second membre diminue donc de — 00 à — 4^i(<^iH — ~)'i oi" cette dernière quantité est négative; par conséquent, la lonction y, '" va toujours en diminuant : pour v un
peu plus grand que o elle est positive et très grande, comme toute dérivée logarithmique d'une fonction réelle qui vient de passer par zéro, et ainsi qu'il résulte, d'ailleurs, de ce que S, (o) ^^^ un nombre positif et de ce que la fonction .^, (p) est positive dans
(•) Halphen, t. I, p. 285.
LES FONCTIONS 2r. 87
l'intervalle (o,i). D'ailleurs (XXXVo), pour v= -, la fonction &' ((') est nulle.
Ainsi, quand (^augmente de oà-> la fonction ^^^^ décroît de -+-00
à o et, puisque la fonction 3', (r) reste constamment positive, il en est de même de la fonction ^[{i'); par suite, enfin, 2r, ((^) augmente. Quand ç augmente ensuite de - à i, 2*,(i^) diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs, à cause de l'égalité
La façon dont varie 2?, (r) pour des valeurs réelles de ç est donc tout à fait analogue à la façon dont varie la fonction sine-. A cause de l'égalité
on voit ensuite que ^2{i') varie comme cosç^-.
Maintenant les égalités (XXXIIIg) donnent encore, en prenant les dérivées par rapport à r,
et, en particulier,
dv %{v)
Quand 11 augmente de o k kh^, -^-ii^ii -^ lù^^ augmente de e-^k er^ la quantité entre crochets, dans le second membre, augmente
donc de ^3 H — ^ à <?2+ — • La première de ces quantités est négative, la seconde positive. Lors donc que v augmente de o à - > le premier membre, d'abord positif, s'annule pour une certaine valeur ç-^v^, puis devient négatif. La fonction ^ augmente
quand v augmente de o à Cq, diminue quand v augmente de Co à - ; elle est nulle pour (^ = o, elle sera donc positive pour v = t'o ; enfin
pour (^= - on a
on voit donc que la fonction ^[{v) reste constamment positive et que la fonction 2^4 (p) augmente constamment depuis ^4(0) = ^0^3
jusqu'à Sr* (- j =2^3(0) ^ (70^2 ' lorsque p augmente ensuite de
-à I, .'5r/,(p) diminue en reprenant symétriquement les mêmes
valeurs à cause de l'égalité
Ainsi, pour ce qui est du sens de la variation, la fonction ^^{i^) se comporte comme ferait la fonction i — 2^cos27r(^, si q était
plus petit que -; de même, la fonction ^3{v) se comporte comme ferait la fonction i + af/cosaTi^, si ^ était plus petit que -•
