IV. — Transformation linéaire des fonctions 2r

176. Nous avons supposé jusqu'ici que les quatre fonctions 2r étaient formées avec le même couple primitif 2(o<, acog, ou plutôt

avec le même rapport •:= — • Supposons maintenant que l'on

remplace le couple (aw,, 2W3) parle couple proprement équivalent (2S2), 2Û3) tel que l'on ait

çîi = auii -+- b(x>3, fls = cwi -+- dois,

où a, b, c, <f sont des entiers qui vérifientla condition ad — bc= i . Cela reviendra à remplacer

par

e"'^', X, q = e'Ti^',

2Û1 a -\- bz ' a-f-èx

^.t, ^3 par

Hi = «Tfii-(- 6v)3, H3 = cr]i4- c?r]3,

et enQn q^^ (/,, ^/o, ^3 par les quantités Qo, Qi, Q2, Q3 formées au moyen de q comme q^^ </) , q-i, qz au moyen de q. On obtiendra ainsi quatre nouvelles fonctions que nous désignerons par

Si l'on applique les formules ( XXXIII, /,) aux fonctions

^•(Mlii,, Û3), cs',(;^Ia,, Û3), a'o(?<lû,, Û3), rfaCi^lû), Û3) qui ne sont autres que les fonctions du, d\u, d^u^ d^u formées avec les demi-périodes co,, CO3 et affectées d'indices X, ijl, v dont la valeur est fixée par le Tableau (XXg), on trouve de suite

(i) ^Qgo'^'a =e2HAV'2ri(v|T),

(XLI) j (2) aQoQ'îQ^Âw =e2«.«iV>S2(v|T),

I (3) QoQlcr(i^*=e2"'"'^"S3(v|T),

[(4) QoQ|a'va = e2H.".V'-274(v|T)

et ces formules, si l'on connaissait \, [Ji-, v, fourniraient, par la comparaison avec les formules mêmes d'où on les a tirées, des relations entre les fonctions 2»(t^|T), 2r(v[T). Les formules (XXXIIl9,2), appliquées de la même façon, permettent de faire un pas de plus.

177. Mais il convient tout d'abord de faire, sur la signification des radicaux, quelques remarques analogues à celles du n° 129.

Les quantités y/E2 — E3, \/■E^ — E3, ^ej — E2 doivent être définies par les formules

/eî — E3 = i 4/ — - 2QoQf Q*, y 2 iii

(XLI5) I ^^=^3 = 1/4- QoQl>

où, dès que l'on a fixé la signification de i / — ' il ne reste rien

d'arbitraire. Or, si l'on remplace e,, E2, E3 par e\, e^, e^, rien n'autorise à penser que les racines quatrièmes que l'on vient de

4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

définir soient les mêmes que celles qui sont définies par les formules (XXXTg); ainsi, si l'on a £2 = 60; £3=63, on ne peut nullement affirmer que (/e2 — E3 soit égale à '{Je^ — 63, mais seulement que \/e2 — E3 est égale à \Je^, — <?3 multipliée par une racine quatrième de l'unité. En général, les quantités (es — ^^f-, (e, — Ks)", (k) — £2)^ sont identiques aux quantités (eo — ^3)^5 (ci — 63)-, (e, — e^Y rangées dans un certain ordre, en sorte que l'on peut affirmer que les quantités ^E2 — E3 , ^/e, — E3 , ^e, — E2 sont respectivement identiques aux quantités y/e2 — 63, sjé^ — 63, \/e^ — e-i rangées dans un certain ordre et multipliées chacune par une racine huitième de l'unité convenablement choisie.

De même, en conservant à (j" le même sens qu'au n° 101, il est clair que l'on a

(e2 - E3)2 (El — E3)2 (El £3)2 = ( e^ - e^f {e, -e^yiei- e,y- = Ç,

et la formule (XXXI.,) montre que l'on doit avoir

(XII.) .yi; = ,-iy|.,.,^,

£ étant une racine huitième de l'unité convenablement choisie.

178. Quoi qu'il en soit, il est manifeste que, en adoptant ces notations, les formules (XXXIIl9 i2) nous donnent les suivantes

(7) ^^VÎÎ^—^U =.-.^H.".V=c^,(vlT),

( 8 ) t/^T^^ ^'^ ^xu = ^•^'-"'"■v^ 3^2 r V I T ),