XLI

(10) t/Ei-E2l/ï^ tfvM = e2"AV^^^v|T).

Reprenons maintenant les formules (XXXIIl9,2) elles-mêmes et observons que les trois dernières entraînent la suivante

4/ — i /^^^^a'a?i=£ie'--1''^'^'27a+i((^), oùe, est égal à quelque racine huitième de l'unité qui peut d'ail-

LES FONCTIONS 2r. 4I

leurs dépendre de a, ^, y. Appliquons cette formule en prenant pour les nombres a, [3, y successivement les nombres X, tj., v; a, V, ).; V, 'k, [t. et observons que ^eo — E3 , ^/e, — E3 , y/E) — E2 ne peuvent différer respectivement de ^e^ — Cv, y/ev — ex, y/e>. — e^, que par des facteurs égaux à quelque racine huitième de l'unité; comparons les formules ainsi obtenues aux formules (XLl8,n)7 et la formule (XLI7) à la formule (XXXIII9); observons enfin que la différence 2 7), (o, t'- — 2H)Q,v''se réduit manifestement, en vertu de la relation t^, (03 — r,3 lo, = ^5 à l'expression bvvrJ et nous parviendrons au théorème suivant :

Quels que soient les entiers «, 6, c, d vérifiant la condition ad — bc=^ i, on aura, en désignant par s, s', s", t'" des racines huitièmes de l'unité dont les valeurs dépendent de «, 6, c, of, les formules que voici