XLII

(i) £ /a-+-6xe*''^'^'3'i(t^lT) =2ri(viT), (2) t' s/a H- b-z e^^vTO- 2rx+i(p I T) = %{y \ t), ( 3 ) '/ ^/Iim^. e^-vTi/ 2r^+i (t. I X ) = Sra ( V 1 T ) ,

(4) £"'v/«^-^-e'"'''''2rv+l(^l-) =^i(vlT),

0/V les nombres X, [x, v sont donnés en fonction de «, 6, c, «? /?«/■ le Tableau (XXe).

179. Il reste à déterminer, dans chaque cas particulier, les racines huitièmes de l'unité s, e', s", s"'. Nous observerons tout d'abord que ce n'est pas d'une racine huitième de l'unité qu'il s'agit vraiment, mais seulement du signe d'une racine carrée.

En effet, pour chacun des six cas du n" 128, nous avons déterminé, sans ambiguïté, dans le Tableau (XX7), les valeurs des radicaux y/E2 — E3, y/fi, — E3 , y/Ej — Eo. Dès lors les racines quatrièmes y/E2 — E3 , y/E, — E3 , y/fi) — Eo ne peuvent avoir que deux valeurs égales et de signes contraires, et c'est entre ces deux valeurs qu'il s'agit de choisir. Nous allons d'ailleurs montrer que quand le choix a été fait pour l'un des radicaux, il s'impose pour les autres : en d'autres termes, on peut exprimer, sans ambiguïté, trois des quatre racines e, s', e", s'" à l'aide de la quatrième.

Remplaçons, par exemple, dans l'égalité (XLII,), v successi-

vement par vH — , v+-t, vH 1 — t et, par conséquent,

V ^slt {>■+■- (a -{- b-z), V -h lic-hd-z), v -Jr - {a -h c) -\- - (b ■+■ d)'z.

En faisant usage des formules (XXXIV), en réduisant et en comparant les résultats obtenus aux trois égalités (XLIL.^), on obtient aisément, dans les six cas du Tableau (XXg), pour les

rapports -j -, —, les égalités

(XLIT7)

ah + rd

+ ljc + a + c + m"

-hc — 1 -t- /n"

OÙ m\ }7i"j m'" sont trois nombres entiers dont la valeur est donnée par le Tableau suivant :

(XLIIs)

lïi"

Il s'agit donc finalement de déterminer seulement s, dont la valeur, comme nous l'avons fait observer plus haut, ne dépend que du signe d'une racine carrée. La détermination de ce signe en fonction explicite des nombres a, b, c, d est un des problèmes difficiles de la théorie qui nous occupe : il a été résolu pour la première fois par M. Hermite ('). Avant de donner la solution de ce problème, nous commencerons par indiquer un moyen qui per-

(') Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques (^Journal de Liouville, 2' série, t. III, p. 26).

metlra de déterminer eflfectivement la valeur de s, toutes les lois que les nombres «, 6, c, d sont donnés.

180. Nous effectuerons d'abord celte détermination pour les deux substitutions propres

I oX / o .

qui, par répétition et combinaison, engendrent toutes les autres. Pour la première de ces deux substitutions, on a

donc

et l'on est manifestement dans le cas 2" du Tableau (XXc), où ). = t , JJL = 3, V ^ 1.

Il serait donc aisé, dans ce cas particulier, d'arriver au résultat en se servant des formules de transformation pour les fonctions d et des formules de passage des fonctions d aux fonctions 2r : en effet, les résultats précédents et les formules (XLI5, XXXI3) fournissent sans peine les relations

Qi= w,,

Qj= (Oi-t- t03,

Hl= T;,,

H3= ïjl-l- ^i3,

, , (T-t-DTTl

— q, Qî"=/ig'* = e ^ ,

Qo =

î'o, Qi=5'i'

y^ï— E3 = ii/ -^^"xs/iq' q^q\ — \/ i \J e^— 63,

y 20)1 v/ei — E3= i/ :^ qoql=Vei — e2,

v/ei — E2 = 1/^^ 5'o5'2 = V^i — ^3,

qui permettent d'acliever les calculs.

Mais il est encore plus simple de recourir aux formules (XXXII, 4) qui définissent les fonctions 2r. On voit immédiatement, sur ces formules, que, par le changement de ^ en — q, les fonctions 2^3 (p) et ^i{v) s'échangent, tandis que les fonctions

q *2rj(f^) et q '"'b'^i^v') restent invariables, et l'on parvient ainsi aux formules

I (I) Si(p|T4-i) = v/72r,(p|'u), (XLIII) ! ^^^ %{v\x-^i) = s/i'à^{v\i),

J (3) 2r3(P|-:^i) = Sr4(H-), ( (4) 2r4(p|T + ,)=2r3(HT).

On voit que, dans le cas considéré, en supposant que l'on prenne y/a -f- />-; = y/i =i, on a

Ce résultat est d'ailleurs conforme au Tableau (XLIIc).

181. Pour la seconde des deux substitutions considérées on a a = o, ^=^i,c= — i,<:/=o,

donc

- Wi,

TQ3,

-ïil,

et l'on est manifestement dans le cas 5° du Tableau (XXg), où 1= 3, u.= 2, v= 1. Les formules (XLII,/,) donnent donc

p'it/

et l'on a, d'après le Tableau (XLlIe),

Portons notre attention sur la troisième des formules précé-

dénies où figiirenl des Sî de même indice et que l'on peut écrire

(•' TCi

Le second membre de cette égalité apparaît comme une fonction univoque de v et de t; p ne figure pas dans le premier membre. On pourrait craindre que la détermination du premier membre ne dépendît de la valeur de i', en sorte que le second membre fût toujours égal à l'une des déterminations du premier, mais tantôt à l'une, tantôt à l'autre, suivant les valeurs de v. On peut bien prévoir qu'il n'en est pas ainsi, puisque, t étant donné et y/T étant choisi arbitrairement, s" doit être entièrement déterminé; mais il est bien aisé de le reconnaître autrement. On vérifie de suite, en effet, que les zéros de ^sl- — - j coïncident avec

les zéros de ^■i{i' | t), et, comme ces zéros sont tous simples, il est clair, d'après sa forme, que le second membre ne peut être qu'une fonction continue de »^; il ne peut donc passer d'une valeur constante à une autre valeur constante; il ne peut être égal qu'à une seule et même constante, et l'on a, en particulier,

:Sn o\ —

ce qui fixe bien le sens de z" quand t est donné et que la détermination de ^/t est fixée.

Le premier membre ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs déterminées; le second membre apparaît comme une fonction de T sur laquelle nous allons pouvoir répéter à peu près le raisonnement précédent. Fixons tout d'abord le sens de \J-: . La partie imaginaire de t est positive; on peut donc poser

en supposant que les nombres réels p et 9 vérifient les conditions

O <p, O < 0 < TT.

Nous adopterons pour y/r la détermination

en supposant y/p positif; le point sjx est alors situé dans l'angle formé par l'axe des quantités réelles positives et l'axe des quantités purement imaginaires à coefficient positif; il se déplace d'une façon continue dans cet angle quand le point x se déplace d'une façon continue au-dessus de l'axe des quantités réelles. Cette détermination de sji étant adoptée, la quantité

est une fonction univoque et continue de t; c'est donc une seule et même constante.

Si nous prenons, par exemple, ':= i, p = i, 8 = -? nous aurons

^„ j__ Sr3(o| i) ^ j

" ~ \/'i ^3(0 I i) sj'i d'où, puisque e', s", s'" sont égaux à «e.

i\Ji

Finalement les formules de transformation sont ici