XXXI
i 2 loi
Le calcul des autres radicaux et les formules (XIII4) fournissent une vérification.
LES FONCTIONS 2r. 9
Ces expressions mettent bien en évidence ce fait, établi au n° 119, que les trois quantités sje^ — 63, y/e, — 63, y/e, — e^ sont des fonctions homogènes et du degré — i des demi-périodes w,, (03.
Les expressions de eo — <?35 ^i — ^3? ^\ — <?2 au moyen de q^ q^, q\t q-ii q-i nous fournissent une seconde relation algébrique entre ces dernières quantités, à savoir
(xxviiie) ^'àqq\ = q\-q\;
c'est en effet la conséquence immédiate de l'identité
(«2— e3) = (ei— es) — (ei — eO-
157. Nous définirons sans ambiguïté les racines quatrièmes des différences eo — <?3> ^i — ^35 ^« — ^2 et la racine huitième du discriminant (j' de l'équation
4X!'-^2X-^"-3=4(X-ei)(X-e2)(X-^3)=o,
en posant
(XXXI3) ii/ex—e3= y :rr7 qoq\
2Wi
;/ei—e.i^ i/—-qç,ql, (XXXIv) ^y= ^ej—ejÇ/e,— Éf3v/ei — ^2= ' ^ I/'VcÏT; ^^" ^''
Dans toutes ces formules la signification det/— ^ est la même;
elle peut d'ailleurs être fixée arbitrairement.
158. Les produits infinis qui dans les expressions (XXIX) obtenues pour du, 3", u, d-îU, d^ii figurent au numérateur sont susceptibles d'être développés en séries convergentes, d'une forme
très simple, entières en q ou en q' (').
(') Le procédé de passage à la limite que l'on trouvera ci-dessous pour déduire la fonction 2r de la fonction r a été développé par M. Biehler, qui en a
Considérons d'abord le produit infini
JJ[(l + 5r2«-lz2)(H-^2«- 1^-2)], «.— 1
qui figure dans l'expression de <^-,u et posons pour un instant
X (H- qz-^){i -4- q^z-^). . .(l + ^2«-l5-2^.
11 est clair qu'on peut écrire
ç(^) = ao-i-«i(s-+ s"^)+- •■■+- a/i-( -2/^ + ^-2^) + . . .4-a„(^2«^ 2-2/1), «05 cii, . . ., «A, . . . , Œil étant des fonctions entières de ^. D'ailleurs la définition de 'f (s) montre que l'on a
çp(grs)= (l-f- ^7352)(l + 5r3z2),..(,,^2« + l22)
d'où
En remplaçant, dans cette identité, 'f (:;) et ^{qz) par
«0+ ai(;;2,2-2) -[-...+ a„(s2«,5-2«) et
«0H-«l(g'2^2 4 ^-2^-2) f.. ,i ûj^^(^2«22«j g,-2«^-2«),
puis en égalant dans les deux membres les coefficients de s~2A+2^ il vient
OU
«/^. = ak-\ r — V, •
donné diverses applications intéressantes en envisageant les transcendantes considérées comme des limites de fonctions algébriques {Journal de Crelle, t. 88, p. i85). Le principe en est d'ailleurs dû à Cauchy {Comptes rendus, i845).
Observons encore que M. Schellbach dans l'Ouvrage intitulé : Die Lehre von den clliptischen Integralen und den Theta-Functionen (Berlin, 1864 ) a pris les produits infinis comme point de départ de la théorie des fonctions Thêta. Jacobi, luimême, avait signalé les avantages de cette marche.
En remplaçant su;2cessivement /»• par k — i, A" — 2, . . . , i, et en multipliant membre à membre les égalités ainsi obtenues, on aura
D'ailleurs, sur la définition de 'f (^), on voit que l'on a
an = q"' ; par suite,
(i — çr2)(r — <7M...(i — ^2«)
En remplaçant «oi dans l'expression obtenue pour aie, par la valeur que fournit cette dernière égalité, il vient
"^'~ (i — q''){i — q') ■■■{' — q'') {i — q"'^-)...{i — q^"^-''--)' ou encore
{i — q'){i — q')---{i — q'"') en faisant, pour abréger,
Il est d'ailleurs manifeste que, quand n grandit indéfiniment, a\ a pour limite l'unité, à cause de la convergence du produit infini
JJ(i-ry2'«).
On voit aussi que tous les nombres «^ restent, en valeur absolue, inférieurs à un nombre positif fixe «', indépendant de n, par exemple au produit infini convergent dont le m''"""^ facteur serait
Ceci posé, considérons l'expression
F„(z)=(i-5r2)(i-^^)...(i-^2«)?(2); on a, d'après ce qui précède, l'égalité
p„(z) = i + a[q{z^-hz-^)-h...-{-a'/,q^'-{zik + z-^'')-\-...-hanq"\z^"+z--'"y.
et l'on voit sans peine que, si l'on fait croître n indéfiniment, F„(:;) a pour limite la somme de la série
Que cette série soit absolument convergente, c'est ce qui résulte de ce que la série
est elle-même absolument convergente, ainsi que celle qu'on en
déduit en changeant ^ en - : en effet, \^\q"'' z-'^\ = \(i" z-\ tend
vers zéro quand n augmente indéfiniment. Regardons maintenant ^ et s comme des nombres donnés : il est clair que l'on a
par conséquent, dans le développement de F„(;s), la valeur absolue de la somme des termes qui suivent le terme de rang k est inférieure à la somme, multipliée par «', des valeurs absolues des termes qui, dans la série F(;:), suivent aussi le terme de rang k\ or, en prenant k suffisamment grand, on peut supposer cette dernière somme moindre qu'un nombre positif arbitraire e. D'un autre côté, k étant ainsi fixé, puisque, lorsque n augmente indéfiniment, «j, «2, ..., a'^, ont pour limite l'unité, on peut prendre n assez grand pour que la différence entre la somme des A' premiers termes de F(:;) et la somme des k premiers termes de F„(^) soit moindre en valeur absolue que s; on aura, dans ces
conditions,
ce qui prouve bien que F„(2) a pour limite F(-s), quand n grandit indéfiniment.
Observons en passant que, si Ton désigne par A un nombre positif quelconque, on reconnaît immédiatement, sur la forme même de la série dont la somme est F(^), que cette série est absolument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de z qui vérifient les conditions
LES FONCTIONS 3^. l3
Ea effet, on voit, sous le bénéfice de ces conditions, que les valeurs absolues des termes de la série F{z) sont inférieures ou égales aux ternies, tous positifs, de la série
IH- 2 I gr I A2 -+- . . . -i- 2 I ^«' I A2« -f- . . . ,
série dont la convergence résulte des remarques précédentes. Il suffit dès lors, pour établir la proposition énoncée, d'appliquer le théorème du n" 24.
