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la forme ■? doit être divisible par 8.
198. Nous nous proposons maintenant d'établir les formules qui expriment au moyen de <p(t), 4'('^)î '/('^) ^^^ fonctions <p(t), (];(t), x(t), en désignant par
une transformation linéaire quelconque. Ces formules ont été données par M. Hermite ('). Tout ce qu'il y a d'essentiel dans l'analyse qui suit est dû à M. Schlàfli (^).
Les résultats sont différents, suivant que l'on se trouve dans l'un ou l'autre des six cas du Tableau (XXg). Supposons d'abord que l'on soit dans le cas i", en sorte que a, d soient impairs, c et 6 étant pairs. Cette transformation conservera cp^('7), J>*(t), comme il résulte du Tableau du n° 187; elle aura donc un symbole de la forme
. . . X -+- ao, , z-\- ai, ■. •
les nombres «oî ^u • • • étant pairs, et le nombre des éléments de
(') Comptes rendus, t. XLVI, p. 5o8 et p. 715.
On remarquera que les cas 2° et 5° correspondent respectivement aux cas V et II de M. Hermite dans tous nos Tableaux de formules. Il y a correspondance complète entre le numérotage des six cas dans les Formeln und Lehrsàtze de M. Schwarz et le nôtre.
(') Journal de C relie, t. LXXII, p. 36o.
la forme étant pair. Si ce symbole commence ou finit par un
terme de la forme — -' on placera au commencement ou à la fin
un terme de la forme t + o, de manière à obtenir, dans tous les cas, un symbole de la forme
ciq- > z -h di, j •••; T-t- a2/i— 1) ' T -f-
OÙ tous les nombres «o, <^o • • • ? «2« sont pairs, le premier et le dernier pouvant seuls être nuls. En groupant ensemble les transformations partielles telles que
on peut encore donner au symbole la forme
1 — «iT I — asT
Les transformations de la forme (t + a) changent ^{~) en
a II
i^o(^'z), laissent (];(t) invariable et changent '/(t) en i'^x('^)' les transformations f— - — ] laissent oi'z) invariable, changent
\{'z) en i'* '^{'z) et x('^) ^^ ^'^X('^) • ^^ donc on pose A,,» = «0 + «2 -+- • ■ • -t- «2«,
A2«-l = «1 + «3 + . • • + Clin-l,
on aura
cp(t) = i '* ç)(t),
Nous sommes ainsi amenés à chercher des expressions en fonction de a, 6, c, d^ de nombres congrus, suivant le module i6, à Ag», à k.^n-\ etj suivant le module 48, à Kin-\- ^m-K'
