La première forme du symbole de transformation montre
que l'on a
c -{- dz
bz
■iiuus util
tinue
Désignons par — la réduite de rang m -{- i de la fraction con-
CIq-
en sorte que l'on ait
/'//j — (^m Pm—1 — Pm—ii (J m — ^in<Jm—l — (] m — 2i
linPm-ï — PmÇm-l = !•
L'expression de — — r^> sous forme de fraction continue, montre que l'on a
C -h d- (<7o„+T)/?2,t i — />2rt-2 Pin-^ ~ Plll-l a-hbz ~ (a-îa-^ -) qon-l— gun-l ~ qm-^-^q-ln-y
et que, par conséquent, au facteur — i près, les nombres ^2/0 (J-msi p-im Pin-i sont respectivement égaux aux nombres a, b, c, d. Comme on ne change pas la transformation en changeant à la fois les signes de ces quatre nombres, et que, d'autre part, dans les formules finales, figureront seulement des fonctions paires de ^2/1» <l2n-\') p-ini Pin-ii rien n'empêche de supposer
qm^ a, qin-\ — b, Pln= c, p-in-i = d.
Il suffît donc d'exprimer \-in, ^in-x par des nombres formés à l'aide des entiers jOort? P2n-\i qini qm~\i à des multiples de 16 T. et M. - II 5
près, pour avoir, dans le cas où nous nous sommes placés, les formules de transformation linéaire des fonctions es et <ii.
200. Supposons les quantités /?^, ^^ exprimées explicitement en fonction de Uq, a,, «2, a^, ... : ce seront des polynômes à coefficients + 1 et — I, où l'on pourra grouper ensemble les termes de même degré. D'ailleurs, dans chacune de ces expressions, on n'aura soit que des termes de degré pair, soit que des termes de degré impair, en sorte que, si l'on désigne par Ain, A2«( ; 62^, B2«i ; Gan, G2rt< ; Da», B.2n-i ; Eo,/, E2«) ; . . . des polynômes en «oj ^4> <^2 7 • • • dont les degrés respectifs sont égaux au rang des lettres A, B, C, D, ... dans l'alphabet, on peut écrire, comme on le voit très aisément,
(— l)«/>2/i = A,,!— G2„+E2„— . .., (— l)V2rt-l = I — B2„-i -r- D2„i — . . . , (— l)"S'2« =1 — B2„ 4-D2„ — ...,
(— ) )"-q2n-i = — A2«-i -+- Gin-l — ^2,1-1 -f- .
A la vérité, le sens des symboles Ao», A2rt) a déjà été fixé; mais ils gardent leur signification, comme on va le vérifier immédiatement. En substituant, en effet, les valeurs que l'on vient d'écrire dans les égalités
Pin ^^P2n-l<^2ii — Pïn-li <Jiii = ^2tt— 1 ^2« — Qin-ii
PiJi-l=Pin—iO,ln—i — P-2n—3i ^In-i^^ 2'2«-2<^2/i-l — Ç2ri-3,
on trouve de suite
f A2/î=: A2re— 2-l-^2/i7 A2ra-1 = A2«— 3 + <22ra-lï
(T) i ^2^ = A2rt-1 «!2;i+ B2re-2, B2«— 1 = A2,i 2<3t2«— 1"+- ^2/2-3,
\ C-2n^= B2ra— i«2«~t~ G2«— 2> G^n-l = 62/^-2 it-2n-l + G2/j— 3,
d'où l'on tire
A^n =^ «0+ <^2~r-' • • "t~ <3!2rt) A2«-l = «1 -+- «3 -i- . . . 4- «2/1-1 )
, Bjrt :^ A-ia^-i- A^aif-i- . . .-\- X2n—i<^2ni (0) (
B2rt— 1 =^ AqUi-^- A^Cls-h . . .-+- A.2n — 2^2n — l, Gin =^ Bi «2+ B3 «4 -+-...-+- B2»-l «2«» Gj/i— 1 = B2a3-1-. . .-i- B2rt-2«2«-l-
D'ailleurs, puisque les nombres «oj «n <^îi • • • sont pairs, on a certainement, quel que soit l'indice /•,
A;.^o (mod. 2), Br=o (mod. 4), Gr=o (mod. 8),
et les nombres D^, E,-, . . . sont évidemment divisibles par i6, en sorte que les égalités (P) entraînent les congruences (mod. i6)
(— l)«jD2„-i = I — Bîrt-i,
(— l)"g'2n =1 — Ban,
(— l)«g'2n-l = — Aîn-iH- G2„i.
L'avant-dernière des égalités (S) peut s'écrire
Cort = (A,— Ao) Bi-H ( A4 — A,) Bs-i-. . .-h (Asn— Aî^^-a) Bj^-i
= AqBi A2(B3 Bi) . . . A2,j 2 (B2n i B2ra-3) -+- A27iB2«-l.
Si, dans le dernier membre, on remplace pour chacun des indices 7-^2, 3, . . . , /i, la différence Bor-i — Bor-g par sa valeur A2r 2^2/-— I et B, par ao<^i =Ao<7|, il vient
Gin = — «1 Ag — «3 A| — . . . — a-in—l A|„2 -t- Aora B2«i.
D'ailleurs on a, en général,
a27--i A|,^, ^ 2a2r-i '^2r-2 (mod. 16);
en effet, la différence a-2r~f -^2r-i{-^2r-2 — 2) entre les deux membres est divisible par 16, puisque «2r-i est pair et que le produit des deux nombres pairs consécutifs Ao^-a? ^%r-2 — 2 est divisible par 8. Ainsi, en négligeant les multiples de 16, la quantité «, A„ -|- «3 A2 -4- . . . + «2«-i ^2n-2 peut être remplacée par
2(rtlAo+a3A2-+-...+ «2n-l A2,i-2) = 2B2,;-i j
on a donc
Go/j =— 2B2«-i-l- Aj/jB,,,-! (mod. 16).
On démontre exactement de la même façon la congruence G2rt-t = — 2B2„-2-f- A2«-iB2rt-2 (mod. 16).
Ces deux congruences permettent d'écrire la première et la dernière des congruences (e) sous la forme
(tj) < __ A * r> 1 ('"od. l6).
Dans le second membre de la première de ces congruences, on peut remplacer B2n-i par i^( — i )"/'2«-» 5 puisque les deux quantités ne diffèrent que par un multiple de 16. De même, dans le second membre de la deuxième, on peut remplacer B2«2 par
D'autre part, l'égalité
montre, en tenant compte de la dernière congruence (s) et de la congruence Cor-i ^ o (mod. 8), que l'on a
Si le nombre pair Ao„, est divisible par 4, on a donc
qi,i=—qin-t (mod. 8);
mais, dans la seconde congruence (7^), B2,i 2 est multiplié par le nombre pair k^n-\ — ">-'■, on peut donc négliger dans l'expression de B2«2 les multiples de 8, et, par conséquent, remplacer B2«2 par I — ( — 0"^2«- Si ^i,i-\ était divisible par 2 sans l'être par 4, le facteur h^^n-K — 2 serait divisible par 4> et l'on pourrait négliger dans l'expression de B2«2 les multiples de 4; comme ao/?, A2«) sont pairs tous deux, on a toujours
qiti = — q-m-ï (mod. 4);
on voit donc que l'on peut encore remplacer B2rt 2 P''^ ^-{-^Yq■^n.
Dès lors, les deux congruences (•^) conduisent aux suivantes
{—\Ypin = A2„-t-(2— A2„)[l--(— l)"7?2«-l] ), , ^-
\ (mod. 16), (— i)"5'2«-i==— Asft-i — (2 — A2«-l)[l — (-i)''^2«] )
d'où l'on tire
A2« Pin-\^ Pin. -4-2[/'2«-I — (— l)"l ) , , ^,
> (mod. 16).
^in-iqin = — g'2/i-l+ 2[5'2« — (— l)"] )
Multiplions ces deux congruences respectivement par p^n-i 3 ^2/1 » si l'on remarque que, en vertu des congruenccs (s) et de la congruence B,- ^ o (mod. 4)) on a
(mod. 8), (lia =1 )
d'où, puisque A2«, ^2n-{ sont pairs,
(mod. i6),
A2/J-I S'Ira =A2,;1 )
on voit que l'on peut écrire
A2« = Pin P%n-l + P\n-X^ P\n-l — '^{—^YP2u-i \ . . .,
[ (mod. 16).
^2n-l = — qînq-2n-l-^ qln ■+- qln — 2(— l)"5'2« )
Les seconds membres se réduisent, en tenant compte des congruenccs,
} (mod. 16),
qui résultent manifestement des congruenccs (s) et de la congruence B^ ^ o (mod. 16), et l'on a finalement
A2n = P2nPin-l + Pln-l—i ) , , „,
> (mod. 16),
A2«-i^ — qinqin-l-^ q\n — ' )
ou encore
A2„ = cd+d^—\ ]
> (mod. 16).
A2ra-i= — «6-i-«2, I
201. Nous transformerons ces expressions de Ao», Km-s au moyen des congruenccs
\ (mod. 16), {a — <i) (a 4- <i + 6) = o )
qui peuvent s'établir comme il suit.
Ecrivons les premiers membres sous la forme
{gin — /'2re-l) iÇln-^- Plri-1 -^ Pin), {qtn — Pln-\) {qin-^ P2n-\ + Çnn-O-
En tenant compte des congruences (e), on voit que les deux quantités précédentes sont respectivement congrues (mod. i6) à
(Ba/j-i— B^n) (2 — A2«-i).
Il nous suffît donc de montrer que ces deux quantités sont divisibles par 16.
Pour la première, il n'y a évidemment lieu à démonstration que si l'on avait à la fois
Bî/i-i — B2„=4 (mod. 8), A2/j= o (mod. 4)'.
mais, si l'on écrit la première de ces deux congruences sous la forme équivalente
B2/J-1-I- B2«= 4 (mod. 8),
on aperçoit tout de suite qu'elle est incompatible avec la seconde; car on tire de l'égalité
ÇinPin-l — P2nÇin—i = !>
et des congruences (e) la suivante
B2«i4-B2„= A2„A2„-i (mod. 16),
et cette dernière montre que, si Aaw est divisible par 4, ^2n-i -h^zn est divisible par 8.
On déduit aussi de la dernière congruence que l'on ne peut avoir à la fois
Bare-i — B2« = 4 (mod. 8), A2„-i = o (mod. 4),
et les congruences annoncées sont établies.
Puisque a — d est divisible par 4? que b el c sont pairs, il est
clair que ces congruences entraînent les suivantes :
(n \ (mod. i6);
on en tire
» a^±ac ^d^±cd ) ^ , ^ ^
} (mod. i6),
a^±ab = d^±bd \ ^
où les signes supérieurs se correspondent.
Les deux expressions de Aon, ^2n-i peuvent donc aussi s'écrire
Ain = ce? -H <i- — I = ac -h a^ — i
(mod. i6) A2«-i = — aè -+- «2 — I = — 6â? + ^- — t
et l'on a, par suite, dans le cas i° du Tableau (XXe), les relations
(, j^\ cd + d'—i ac + a^—i
a -+- bx ] '
, \ —ab-\-a>—\ —bd-\rd^—\
202. Il est facile de vérifier que, dans chacun des cas 2° à 6" du Tableau (XXo), la transformation t peut être envisagée
comme composée de transformations (-:+ i), ( j et de transformations rentrant dans le premier cas. Cela résulte du Tableau suivant, où l'on a écrit, à gauche, le numéro correspondant du Tableau (XXg), et où, dans le second membre, figurent chaque fois dans l'ordre voulu les transformations qui, par combinaison, donnent la transformation t.
-\- d-z\ ( c — d -\- dx
a-^bxj \a — b -+- bx
,'c-+-dx\ (c-^id — c)t I
^a-\-bx/ \a-t-(6 — a)x x
c -^ dx\ I d-\- {d — c)x I \
a + bx) -\b-^{b-a)x' ~ x' ^"^V'
dx\ l d — ex 1
a -+- bxj \b — ax ,' c -^ dx\ / d -h c — ex
-1- bx/ \b -\- a — ax
On voit bien, en tenant compte de la parité des nombres «, 6, c, c? dans chacun des cinq cas considérés, qu'outre (t + i), ( — -U les transformations qui paraissent dans le second membre rentrent dans le premier cas. Les transformations ^t + i), ( 1
changent d'ailleurs cp(T) et (|»(t) en combinaisons de ces fonctions que font connaître les formules (XLV).
203. A l'aide de cette remarque et des formules établies au n° 201 pour 'f (t) et ^(t) dans le premier cas du Tableau (XXc), on obtiendra sans peine les mêmes formules dans les cinq autres cas de ce Tableau.
Prenons, par exemple, le cas 4° • <^<^j ^5 c sont impairs, d est
pair; la première transformation est i == ^Z' ^^ supposant
a = 6, ^^h — a, y:^ûf, o = d — c. On vérifie bien que a, p, Y, 0 sont les coefficients d'une transformation qui appartient au cas 1°; on a donc
en remplaçant t par y on a ensuite
puis, en remplaçant t par t + i j
/c -h dz \ \a-+- bi j
{d — c){id — C) — l bd + b^—l
D'ailleurs, d — c étant impair, on a la congruence
2((5^— c)2=2 (mod. i6); d'où l'on déduit facilement la congruence
{d—c){id — c — i = c(<i— c) + i (mod. i6);
on a donc finalement, dans le cas 4°i
' \a-\-b'zj
bd-¥-b*—\
En répétant les mêmes opérations dans les quatre autres cas du Tableau (XXg), on obtient des formules analogues, et l'on a finalement pour la fonction ^{'z), dans les six cas de ce Tableau, les formules de transformation suivantes :
a + bz) -' 4.(T) ^{xy
/c-hdz\
-cd + d'—i
c -h az\ . ^ I
/ L // \ — frf + c'— 1 M + 6»— 1
^Va + 6-:/ * ç(t) * cp(T)
204. Il n'est pas nécessaire, pour obtenir ces formules, de ramener, comme nous venons de l'expliquer, chacun des six cas au premier.
Nous avons vu au n" 202 que l'on peut envisager la transformation l- ^j du cas 4°j où a, b, c sont impairs et d pair, comme
composée de la transformation (- ~U où a=:6, o^d — c sont
impairs, tandis que ^=: b — a, j = d sont pairs, transformation qui rentre donc dans le cas i", et de la transformation
( î — ] . On peut de même envisager la transformation ( , j
du cas 6°, où a est pair, tandis que b, c, d sont impairs, comme composée de la transformation/-^^ — ô~)'OÙ ci.-=b^^^b — «,
"^ := d sont impairs, tandis que o = d — c est pair, transformation
qui rentre donc dans le cas 4°i et de la transformation ( \,
de sorte que l'on a, dans le cas 6", non seulement la décomposition de la transformation (t) donnée au n° 202 en une transformation qui rentre dans le cas i°, suivie des transformations (t + i),
( ), mais aussi la décomposition
c -h dz\ / d -h (d — c ) T
a-i-bz/ \6-f-(è — a)z'
de cette transformation (t) en une transformation qui rentre dans
le cas 4**, suivie de la transformation ( ) •
• . ^ ^ + i/ On verrait exactement de la même manière que l'on peut envisager les transformations [ j- ) des cas i", 3°, 5°, 2° comme résultant de la composition d'une transformation
P = 6 — a, "^f ^ d, ù = d — ■ c, transformation qui rentre respectivement dans les cas 6°, 2°, 3°, 5", et de la transformation
Observons d'ailleurs, sur l'exemple du numéro précédent, que la formule pour cp(^ ^ | s'obtient, dans le cas 4°? à l'aide de
la formule pour cp ( 7~)' supposée connue dans le cas i°, en
changeant dans cette dernière formule simultanément a, b, c,
d, -z en b, b — a, d^ d — c, — ■ -' Les mêmes changements
simultanés permettront donc aussi, lorsqu'on connaîtra une des formules relatives aux cas 4°? ou 6°, ou 2°, ou 3°, ou 5", d'écrire immédiatement la formule relative respectivement aux cas 6°, ou 1°, ou 3°, ou o", ou 2°. 11 suffit donc d'avoir les formules relatives aux cas i° et 5", par exemple, pour avoir toutes les autres. Le même raisonnement s'applique aux diverses décompositions indiquées dans le n° 202. Le Tableau suivant résume les résultats et permet de passer des formules qui concernent l'un quelconque des cas du Tableau (XXo) à celles qui concernent les autres cas. Dans les cinq premières lignes on a écrit, à côté des lettres a, è, c, û?, T, les expressions qui doivent les remplacer : en regard de
ces expressions el à côté des n°* i°, 2°, 3°, 4°j 3°^ 6°, on trouve les numéros des cas qui remplacent respectivement ces six cas.
205. Les formules relatives à la transformation linéaire de la fonction ^{y) pourraient s'établir exactement de la même manière; le Tableau précédent s'applique aussi bien à la fonction iJ^(t) qu'à la fonction «p(t).
D'ailleurs, on peut passer directement des formules relatives à la fonction (0(7) à celles qui concernent la fonction ^(x) par la
remarque suivante, que nous développerons sur le cas i". Dans la formule
changeons t en ; elle devient
/ j j. \ cd-hd^—l rtr + a'— 1
Si l'on applique au premier membre de cette formule la relation
— d -h ex
en supposant t == — ~, » on trouve
^ '^ — o -h ax
cd + d'—\ ac + a'—l
Si l'on remplace maintenant a, b, c, d par — <i, c, 6, — a, ce qui nous laisse dans le cas 1", on obtient les formules
/ , ^ \ — aô + a'— 1 —hd + d'—l
qui sont bien celles du n° 201.
En raisonnant de la même façon, on voit que si l'on change a, b, c, d en — d, c, b, — a et simultanément cd en (]; et <]; en cp? chaque formule relative à la fonction cp conduit à une formule relative à la fonction t|^; mais on ne reste pas toujours dans le même cas du Tableau (XXe); on reconnaît facilement que l'on passe des cas 1°, a*', 3°, 4°, 5°, 6° aux cas 1°, 3% 2°, 6", 5°, 4°.
On obtient ainsi pour la fonction d» (t), dans les six cas du Tableau (XXe) les formules de transformation linéaire suivantes :
flft I /\ (c -h d) i— n — b + c -h (i) , ,
(c — rfi { — n + 6 + r — (ts
rt6-l-6«— 1
(f(x) = t * o(x), / . j \ — "" — «--1-1 , — fzr-t-c'— 1
206. Nous récrirons ci-dessous les formules relatives aux fonctions 'J (t) et <!'(':), en ne conservant d'ailleurs, pour chacune
d'elles, qu'une seule forme. Le sjmbole \-\, où n est un entier
impair, est emprunté à l'Arithmétique; nous aurons l'occasion d'y
revenir au n" 228; il est mis à la place de î * = ( — i) * . Nous
rappelons encore une fois que t", où m est un entier quelconque
irfîZi
et n un entier positif, est mis à la place de <? -" .
'Ht) =
(l)rT^(x)
cd , .
207. Il est à peu près inutile de dire que les difFérentes façons dont on parvient à ces formules donnent naissance à une suite de congruences (mod. 16) entre les nombres a, b, c, d, relatives aux différents cas du Tableau (XXo). Par exemple, dans le cas 3*^, on a, entre autres congruences, les suivantes :
(c -h d)( — a — b -i- c -h d) -h ab s^ o,
c {a -{- ib -{- c -\- d) ^ o,
(a-l-c)(aH-2c) = <i(c-l-<fjsi-+-6(a — d),
(mod. 16).
Elles peuvent être vérifiées en distinguant les nombres entiers a, b, c, d suivant leur reste modulo 4- Quelques-unes d'entre elles se déduisent d'ailleurs des autres en ne distinguant ces nombres entiers que suivant leurs restes modulo 2.
En tenant compte, dans chacun des six cas du Tableau (XXo), des congruences correspondantes, on peut mettre les formules de transformation linéaire des fonctions cp(T) et ^('^) sous plusieurs formes équivalentes à celles des Tableaux précédents. Ainsi, dans le cas 3°, on a, par exemple,
-^bzj \d / ÇC"^)
208. Pour obtenir les formules de transformation linéaire concernant la fonction y (■r) dans le cas 1° du Tableau (XXe), nous suivrons une méthode moins directe que pour les fonctions ©(t) el^j;(T).
Rappelons tout d'abord que, dans ce cas 1°, on a
où l'on a posé, pour abréger,
''■ = A.2/J-1- Aq/i-i ; quand nous voudrons mettre en évidence les nombres a, b, c, d
LES FONCTIONS 2r. 79
dont dépend X, nous écrirons, au lieu de ).,
Observons aussi qu'en remplaçant, dans l'égalité
par T + 2 w ou par > on aura
la -t- rtT \ .-; , ^ . ■- ■
a-h-inb -i- bz/ '^
(d — inc)z ' / \ ■
(6 — ma) et, par suite,
/ ^ /« + 2/i6, ^ \ r fa, b\ , , ) \c-\-ind,d)~ \c, dj ^ , . , ,„,
(Tj) { ' (mod.48).
i ^ [a,b — ina\ __ , la^b\ l
l \c, d — inc j \c, d) ]
Inversement, si l'on détermine une fonction entière à coefficients entiers X qui vérifie ces deux congru ences, quel que soit le nombre pair in, pourvu que a, b, c, d soient des nombres satisfaisant aux conditions du cas 1°, et qui, enfin, se réduise à zéro dans le cas où a, b, c, d sont les coefficients de la transformation identique, c'est-à-dire lorsque l'on a
il est clair que cette fonction X pourra être prise pour la fonction }v qui vérifie l'égalité
' X(T)=iï^X(^)-
En effet, toute transformation du cas 1° peut être obtenue en faisant suivre la transformation identique d'un certain nombre de
transformations de la forme (t + 2 n) ou ( ) •
^ ' \i — anx/
