Nous commencerons par déterminer une fonction L de

rt, è, c, d qui vérifie les congruences (r)) suivant le module 16; nous transformerons ensuite cette fonction L en une autre qui lui soit congrue suivant le module 16 et qui vérifie les congruences (71) suivant le module 3; cette dernière fonction pourra être alors prise pour X, car elle vérifiera manifestement les congruences (ti) suivant le module 48-

Comme les formules de transformation des fonctions ^(t) et ^/(t) dans le cas 1° du Tableau (XXo),

|(v/ + rf^ — 1

donnent immédiatement pour l'exposant \ de la formule de transformation

la valeur

\ ^ {cd -^- d'^ — I )-+-(— aô + «2 — i) (mod. 16),

il est naturel de se demander si en prenant pour L l'expression cd — ab -^ d- -\- a- — 2, les congruences {'i\) sont vérifiées suivant le module 16.

On le voit immédiatement, dans le cas où le nombre pair 'in est divisible par 4- En remplaçant alors x par 'z -\- n dans les égalités (Z,), on obtient les relations

(, I , 7 \ {c + nd)d + (l^—\ {c + nd)d-hd'—l + n c -+- na -I- ax \ .— ; , . ; , r- =* ç(T-4-n) = t * o(t), a-\- nh -^hx) ' ^ ' '^'

7 , 7 \ — (rt + «6) />+ (a + «i|2 — 1