C -4- na -f- ax
a -+- no -\- bx J '
Si donc on prend pour L l'expression
(cd -i- d^ — i) ~i- { — a6 4- a^— i)
et si l'on désigne par L, ce que devient L lorsqu'on change t en T + /?, on a l'égalité
Li — L — zild^-^i — b'-h2ab -^ «^^]-
De même, en remplaçant, dans les égalités (Q, x par — ^ — - et
LES FONCTIONS S". 8l
en désignant par L2 ce que devient alors L, on a l'égalité L2 — L = n(— c2 — icd -+- nc^-h a^-i-i).
De ces deux égalités on déduit immédiatement, puisque n, bj c sont pairs et a, d impairs, les congruences
Li — L ^ in )
(mod. 16), L2 — L^in )
qui mettent bien en évidence que les congruences (r, ) sont vérifiées, suivant le module 16, en prenant X = L.
Ainsi, dans le cas oii n est pair, toute fonction congrue à cd — ab -h a- -h d'^ — 2, suivant le module 16, et s'annulant pour a=:i,d=i,b^=o, c=:o, pourra être prise pour X, si elle vérifie les congruences (ri) suivant le module 3.
Or, en vertu des diverses valeurs trouvées pour A2«, A2«i, on a les congruences
L = d{c — b)-\- 2(c?2— i) = a{c — b) ■+■ %{a''- — i) (mod. 16),
et, par suite, puisque a ei d sont impairs,
h^d{c — b) = a{c— b) (mod. 16).
D'un autre côté on a, à cause de l'égalité ad — bc= 1, les congruences
d(bc^i) — a=(d^ — i)a = o)
a(6c + i)-^=(a^-i)rf^or'^"^-^^'
d'où l'on déduit, en multipliant par le nombre pair b — c,
{b — c)(bcd — a)-^d(b — c) = o )
/ , s / 7 » ,, V ! (mod. 16).
(b — c){abc — d)-ha{b — c)^o\
On a donc aussi les congruences
L~{b — c){bcd—a) = (b — c){abc — d) (mod. 16).
D'ailleurs les deux fonctions
(b — c)(bcd — a), (b — c)(abc — d)
sont congrues suivant le module 3; en effet leur différence est
(6 - c){a — d){bc -\-a) = {b — c){a — d)ad, T. et M. - II. 6
et l'un des facteurs b — c^a — d,a, d est nécessairement divisible par 3, car s'il en était autrement il faudrait que l'on eût à la fois
a = z, b = z', c = — s', d = — e, £, e' étant égaux à ± i ; on en déduirait
I = ac?— 6c = — £2+g'2=o (mocl.3),
ce qui est absurde.
On aura donc vérifié que, pour n pair, l'une ou l'autre des deux fonctions (b — c){abc — d), (b — c){bcd — a) peut être prise
pour la fonction \i ' h si l'on constate que l'une ou l'autre de
ces fonctions satisfait aux congruences
\c ^ind, d ) \c, d ) f / j on
1 X / (mod. 3).
/ a, b — ina\ f a, b\ 1
A — A ) — 2rt = ol
\ c, d — inc j \ c, d) 1
La vérification de ces deux congruences est particulièrement aisée, si l'on fait porter la démonstration sur (b — c)(bcd — a) pour la première, sur (b — c){abc — d) pour la seconde. On a alors à établir les deux congruences, suivant le module 3,
(b — c — %nd)[bdc — a -\-inb{d'^ — i)]— (6 — c) {bdc — a) — in^ o, (b — c — 2na)[abc — d — '2nc{a^ — i)] — (6 — c){abc — d) — 'i/i ^o,
ou, en supposant n premier à 3,
— ■inbd{d'^—\) — d{bdc — a) -h b(b — c)(</2— i) — i = o, -t- inac^a"^ — i) — a{abc — d) — c{b — c){d^ — i) — i = o;
or les nombres d{d'^ — i), a{a^ — i) sont divisibles par 3 puisque ce sont des produits de trois nombres entiers consécutifs; on a donc à établir les deux congruences
— dibdc — a) -\-b{b — c){d^ — i) — 1 = 0 ) , , ^^
\ (mod. 3).
— a{abc—d) — c{b—c)(a^ — i) — i = o)
En retranchant des deux membres la quantité ad — bc — i.
elles prennent la forme
c{c— 2.b){a^ — 1)^0 ou
(mod. 3),
(mod. 3).
Si a est divisible par 3 ou si c? est divisible par 3, l'égalité ad — bc= I montre que l'on a
6c = — I (mod. 3),
d'où l'on conclut que b -\- c est divisible par 3. La vérification annoncée est donc faite.
210. Nous nous sommes bornés jusqu'ici à considérer le cas où le nombre pair 2/? est divisible par 4; mais il se peut que n soit impair et dans ce cas la démonstration précédente est en défaut, comme on le voit en observant qu'alors les substitutions t = t4-/i
et T ^ ne rentrent pas dans celles du cas i° du Ta-
bleau'(XX6).
Il nous reste donc encore à vérifier que, pour n impair, les congruences (y\) ont lieu suivant le module 48 lorsque l'on prend pour X successivement chacune des deux expressions
(b — c)(bcd — a), {b — c){abc — d).
La démonstration est la même que tout à l'heure, lorsque l'on envisage les congruences (t]) suivant le module 3 ; il suffit donc de vérifier que l'on a, pour n impair, les quatre congruences, prises toutes quatre suivant le module i6,
{b — c — ind)[bd{c -f- ind) — {a-\- -j.nb)] — {b — c){bdc — a)— 2rt = o, (6 — c — ina)\{b — ina){d— inc)c — a^ — {b — c){bdc — a) — 2n = o, {b — c — ind)[{a~^ ■2nb)(c -+-ind)b —d\ — {b — c)(abc — d)~ 2n = o, {b — c — ina)[{b — ina)ac — {d — 2«c)] — {b — c){abc — d) — in==o.
Cette vérification n'offre aucune difficulté si l'on tient compte de la relation ad — 6c = i et de ce que, a ei d étant impairs, b
et c pairs, les quatre nombres a^ — i , d- — i , h{b — 2), c(c -f- 2) sont divisibles par 8.
211. Nous avons ainsi démontré que dans le cas 1° du Tableau (XXg), où a, d sont impairs et Z>, c pairs, on a les relations
{b — c){bcd -a) {b — c)(abc — d)
En nous reportant au Tableau du n° 197, qui montre comment on peut décomposer dans les cinq autres cas la transformation t en
transformations (t + 1 ) , ( ) et en transformations ( - — ~ \o\xol,ù
sont impairs et [3, y pairs, en faisant usage de la formule précédente et des formules (XLV) ainsi que de la relation ad — bc = 1 et de la parité des nombres a, 6, c, d, on peut obtenir les formules de transformation linéaire de la fonction ^(x) dans les cinq autres cas.
On a ainsi, dans le cas 2", la relation
(/) — r + fj ) {bcd — bd' — a + b)
que l'on peut écrire, en tenant compte de la formule (XLV4) et de la relation ad — bc = i,
(b — c) (bcd — n) hd (di — 1) b {b — 2c] (d'—\) / \ y{T)=i 12 i 12 i 12 lâU
La congruence
bd{d^—i)^o (mod. 48)
est manifeste, puisque b est pair et d impair. La congruence
6;6 — 2c)(c?2— i) = o (mod. 48)
qui est manifeste quand d n'est pas divisible par 3, puisqu'alors d'i — I est divisible par 24, résulte, quand d est divisible par 3, de la relation ad — bc = i qui entraîne les deux congruences
6c = — I (mod. 3), 6^=1 (mod. 3).
Dans le cas 2°, la formule de transformation de la fonction
y(x) se présente donc sous la forme très simple
qui est toute semblable à l'une des deux relations du cas i*^. Dans le cas 5", on a immédiatement
(a + d){acd — l)) {a -hd){(ibd-c)
Dans le cas 4°, les calculs sont tout aussi simples, si l'on passe du cas 5° au cas 4" à l'aide du Tableau du n° 204. On obtient ainsi la relation
y(T)=i 12 i 12 i 12 Zili.
En tçnant compte des deux congruences
db(b^—i) = o )
(mod.48),
qui résultent immédiatement de ce que dans le cas 4°, d est pair, b impair, et de ce que l'on a ad — bc ^ i , cette relation peut s'écrire
la + d)(ahd — c) , v
212. On pourrait de même déduire de diverses manières, à l'aide du Tableau du n° 204, les formules de transformation linéaire, relatives aux cas 3° et 6°, des formules établies dans les cas i°, 2°, 4°, 5°. Mais on arrive plus rapidement au résultat de la manière suivante :
Dans la formule relative au cas 2°, où «, c, d sont impairs et b pair, à savoir
lç+dx\
ib-c)tbcd-a) , .
changeons t en ; nous aurons
'^\b — azj <p(t)'
appliquons ensuite Ja formule
en prenant
b — ax' la relation précédente deviendra
^\—d-^cz) cp('c)'
elle rentre toujours dans le cas 2". Changeons maintenant «, b, c, d en — d, c, b, — a; nous aurons
7 V (c — b) {— abc + d) , s.
a -t- btj ?('^)
et celte formule rentre dans le cas 3", puisque a, c, d sont impairs, b pair.
En raisonnant de la même manière sur la formule relative au cas 4°» on voit qu'en changeant dans cette formule a, b, c, d en
— d, c, 6, — a, on obtient la relation
(7 \ (n + d) {acd — b) , s '-±^i\^i r. xli, a-^bxj o(t)
oîi b^ c, d sont impairs et a pair et qui rentre donc dans le cas 6°.
Les mêmes changements simultanés de <2, 6, c, d en — d, c, b,
— a transposent donc entre elles les formules relatives aux cas 2" et 3° et les formules relatives aux cas 4° et 6°; ils transposent aussi entre elles les deux formules relatives au cas i" et les deux formules relatives au cas 5".
213. En résumé, nous avons obtenu, dans les six cas du Tableau (XXo), les formules de transformation linéaire de la fonction '/(t) que l'on trouve réunies dans le Tableau suivant :
LES FONCTIO^S 2r.
(b — c){bcd — a) (b — c)(abc — d)
(b-c){bcd — a) 2° ■^{t) = £ 12
Cp(T)'
(6 — C) (rtÔC — rf)
