XLVI

(n + d) (abd — c)

xÇO

(a + d) jabd — c) {a + d) jacd — b)

{a + d\(acd — b) IS

cp(x)

214. Si l'on observe que les nombres entiers a, b, c, d, liés par la relation ad — bc = 1, vérifient les congruences

(b — c)(bcd — a) E= ah-\-ac-^hd — ab^c )

\ (mod. 3), ^ (6 — c) {abc — d)^ — cd — bd — ac -^ bc^ d )

et que, dans le cas où a el 0? sont impairs, 6 et c pairs, ils vérifient aussi les congruences

{b — c)ibcd — a) = (6 — c) (abc — d) = Z{a^d-—i) — ^{ab — cd) (mod. 16). (le sorte que l'on a

(6 — c) {abc — d) = iG{—cd—bd — ac-hbc^-d)-h3(a^-d^—\) — Q{ab — cd) = (6 — c){bcd — a) = i6{ab -i- ac -h bd — ab^ c) -+-3{a^d^—i) — ^{ab — cd)

(mod. 48),

on voit que, dans le cas 1° du Tableau (XXo), les formules de transformation que nous venons d'obtenir peuvent être remplacées par les suivantes :

/c + dz\ . ' = (-0

n'rfJ — 1 21T1, . , , ... 3TCi, . ,,

— (ab + ac + bd — ab^c) —{ab — cd)

— —--(—cd — bd — ac + bcid) ~-(ab — cd)

De même, si l'on observe que les nombres impairs a, c, d et le nombre pair 6, liés par la relation ad — bc = ï, vérifient la con-

gruence

{b — c){bcd — a) = 3{a^ — i) -h g{ab -f- cd) ■+- 8 (mod. 16), de sorte que l'on a

(b — c) (bcd — a) ^i6(ab -hac -+- bd — ab^c) )

} (mod. 48), + 3(a2— i)H-9(a6 + crf) + 24 | ' '

on voit que, dans le cas 2°, la formule de transformation linéaire de la fonction ^(t) peut s'écrire

/ ,7\ «S — I2irj,, t, ,,311/

/ C -^ dt\ . . - .-• .--

■ — [ab + ac + bd — abic) — -(rt6 + cd) 5^ (x)

En changeant dans ces deux formules a, 6, c, 6^, t en 6, — «, <i, — c, — -? on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction '/(')i dans les cas 5° et 6°, sous la forme suivante :

/C-l-aT\ , . •- — -—{—ab + bd + ac — a^bd) —-(ab — cd)

(crf — flf — irf + rtCrf2) -—■ (ab — cd)

/ c + dz\ , J—^ -—^(—ab+bd + ac — a''bd) —"-—' {ab + rd) y (t)

Xa-^-bxJ ' cp(T)

Enfin, en changeant dans les dernières formules relatives aux cas 1° et 6", a, 6, c, d en — d, c, ^>, — a, on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction x(') dans les cas 3° et 4" sous la forme suivante :

[c-\-dl\ . ^-^ ^JEl(-cd-bd-ac + bc^d} -l:Ei(ab + cd)y(x)

, , — -— -—- [cd —ac — bd+acdi) -— (ab + cd) y (l)