X(^)- (I) P^--'^^^^^'^l' où l'on a posé

(ab + ac+bd — ab^c) — — {cd + ac + bd — bc d)

Ce sont les formules mêmes de M. Hermite, tandis que le Tableau (XLVI2) est celui de M. Schlâfli.

VI. — Détermination, en fonction des coefficients de la transformation linéaire des fonctions ^, des racines huitièmes de l'unité qui figurent dans ces formules de transformation.

216. Nous avons vu (n° 149) que toute substitution linéaire à coefficients entiers et à déterminant + i peut être obtenue par répétition et combinaison des deux substitutions

et de leurs inverses.

En suivant la marche indiquée au n° 150, il est d'ailleurs facile, chaque fois que les coefficients de la substitution linéaire ont des valeurs numériques données, d'effectuer la décomposition de cette

substitution en substitutions

et en substitutions inverses. Une fois celte décomposition effectuée, on n'a plus qu'à appliquer, dans un ordre déterminé, les formules de transformation du paragraphe précédent pour obtenir, dans le cas particulier considéré, les formules de transformation linéaire des fonctions 2r et, par suite, les racines huitièmes de l'unité £, s', e", e'".

Mais on peut chercher à s'affranchir de cette décomposition préalable de la substitution linéaire donnée. A cet effet, nous établirons, en nous plaçant avec M. Dedekind (') au point de vue de la fonction h(T), des formules qui donnent explicitement s, et, par suite s', s.", t'", en fonction des coefficients entiers a, b, c, d de la transformation linéaire

-+- dz

217. Si l'on prend les dérivées, par rapporta ç, des deux membres de l'égalité (XLÏI,) et que l'on pose ensuite p = o, il vient

a -h bz

En tenant compte de la relation

Sr'j (o) = 2 7rh3('c)

et en extrayant les racines cubiques dans les deux membres de l'égalité (a), on obtient immédiatement l'égalité

(P) h(T) = z^^a-^bzh(z),

où £* est une racine vingt-quatrième de l'unité que nous allons déterminer en fonction de a, b, c, d.

(') Riemann's Werke, 2" édition, Nachlass XXVII, 2. Fragmente iiber die Grenzfàlle der elliptischen Modulfunctionen.

Dans le cas où b est nul, cette détermination est immédiate. En effet, l'égalité ad — bc = i exige alors que l'on ai t, soit a = d=i^ soit a = d = — I et l'on peut se limiter à la première alternative, puisque t ne change pas quand on change le signe des quatre nombres a, b, c, d. On a alors

et, par suite, (XLV|), d'après la formule

218. Nous supposerons dans la suite b différent de zéro : a + 6t n'est alors jamais réel.

La constante e^ n'est susceptible que de vingt-quatre valeurs; elle ne dépendra donc pas de t si l'on a défini \^a -+- b'z comme une fonction univoque et continue de t pour les valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, valeurs qui sont les seules que nous ayons à considérer ici.

A cet effet on pourrait, puisque a + bz est toujours un nombre imaginaire, prendre comme argument de « + 6t un angle différent de zéro, compris entre — tt et + -, et pour ^'a + b'z la valeur imaginaire correspondante, dont l'argument est compris entre

^ et H- - > en sorte que la partie réelle de y/a -\-bz soit positive.

Mais il y a avantage à substituer à y/a + b-z une quantité qui ne change pas, non plus que t, quand on remplace a, b, c, d par — a, — b, — c, — d : à la place dey/a + ^Ton mettra y/ — (a -+- bi)'qui n'en peut différer que par un facteur égal à une racine huitième de l'unité, puisque les valeurs absolues de sJa-^-b-z et de y — (a -i- 6x)^ sont égales et que les arguments de ces quantités ne peuvent différer que par un multiple de - • Cette racine huitième

de l'unité, multipliée par s^, reproduit une racine vingt-quatrième de l'unité. Quant à y/ — (a-}-6':)2, elle sera définie comme il suit : — (a -h b'zY n'est jamais un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre imaginaire a-Arbi ne peut être un nombre positif; dès lors on peut prendre comme argument de — (a -t- 6t)^

un angle compris entre — tc et +7c, et pour^ — (a + bx)^ la valeur correspondante , dont l'argument est compris entre — j et + - •

Entre les deux fonctions ^ — («-{-^t)^ et \/a H- 6t, précédemment définies, on a les relations

y/— (a-h bx)^= e'^ * /a + bx,

où il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que b est positif ou négatif. En effet, si b est positif, l'argument de a H- 6t peut être regardé comme compris entre o et tz, puisque le coefficient de i dans a -i- b'z est positif; l'argument de la quantité y/a +6t, définie comme précédemment, sera donc compris

entre o et -, et l'argument de e * \^a-\-bx sera bien compris

entre — - et -h -; ? comme celui de (/ — (a -+- bi)'^ . Le raisonne- 4 4

ment est le même quand b est négatif.

Quoi qu'il en soit, la fonction y/ — (a + bz)'^ définie, comme nous venons de le faire, est univoqvie et continue pour les valeurs de T représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, et, si l'on écrit, au lieu de l'égalité ([3), l'égalité

où El est une racine vingt-quatrième de l'unité, il est évident, par le raisonnement du n** 181, que £< ne peut dépendre de t; en sorte que l'on peut remplacer la formule (y) par celle-ci :

NTtf

(8) h(T) = el2 V/— («+6T)2h(T),

N étant un nombre entier indépendant de x qui, lorsqu'on se donne a, 6, c, d, n'est d'ailleurs déterminé par cette formule qu'à un multiple près de i\. Nous allons donner de ce nombre N une définition précise.