On tire de l'égalité précédente

logh(T) = N— ^ -f- -log[ — {a -\- bxY] + \o^\i{x) -h ikTzi,

LES FONCTIONS 2^. gS

k étant un nombre entier qui dépend des déterminations choisies pour les logarithmes. On peut faire rentrer k dans N, ce qui ne modifie N que d'un multiple de 24, et adopter pour les logarithmes des déterminations précises: alors N sera entièrement déterminé.

Nous avons choisi l'argument de — (« + b'Y compris entre

— TC et +Tt;; il est naturel d'adopter pour log[ — (« + ^7)-] la détermination correspondante, c'est-à-dire la détermination principale, celle pour laquelle le coefficient de / est compris entre

— 7C et +71. D'autre part, la définition de h(':)

donne, en choisissant convenablement les déterminations des logarithmes,

lOgh(T) = :^ -+- log JJ (I - 5r2«).

Mais il est aisé de voir que l'une des déterminations du logarithme qui figure au second membre est la somme de la série convergente ( ' )

l0g(,gr2'î),

OÙ le logarithme a sa détermination principale.

Pour éviter toute ambiguïté, nous poserons, en conservant toujours cette signification à log(i — (J'")-)

(e) lh(T) = ^4-2log(i-5-2«)

(') C'est là une propriété générale que l'on a négligé de signaler dans l'Introduction et que nous rappelons rapidement ici. Observons d'abord que, si x est un nombre imaginaire dont la valeur absolue

est moindre que un, l'argument de H-a: peut être supposé compris entre

et -> en sorte que la détermination principale du logarithme de i + x a le

lh(T) est alors une des déterminalions de logh(T); c'est une fonction univoque et continue de t pour les points t situés au-dessus

coefflcient de sa partie imaginaire compris entre et H : log(i4-a;) est

ainsi défini, sous la condition | a; | < i comme une fonction univoque et continue de X', cette fonction coïncide avec la somme de la série

puisque la coïncidence a lieu pour x =■ o. Ceci posé, soit

un produit infini absolument convergent dans lequel on suppose que tous les termes m„ aient leur valeur absolue moindre que un. En désignant par v^ la détermination principale du logarithme de n- w„, on aura

" I 2 3 Cette série reste convergente quand on y remplace tous les termes — ^ , 2 ,

^) • • • par leurs valeurs absolues; elle a alors pour somme

V„ = -log(i-lMj), le logarithme ayant ici la signification élémentaire. D'ailleurs, la série à termes positifs

est convergente à cause de la convergence du produit infini

n = l Il en résulte (n» 38) que la série

dans laquelle le logarithme a sa détermination principale, est convergente : sa

LES FONCTIONS 3". qS

de l'axe des quantités réelles. Nous aurons de même

/2=:oo

(0 lh(T) = I^-i-2'°S(i-Q''"),

en supposant

et, finalement, nous écrirons

(71) \h{i') = N— ^ j\os[— {a -+- bzy] -h lh{-z).

Le nombre entier N est complètement déterminé par cette égalité, ainsi qu'il résulte toujours du raisonnement du n° 181 , puisque les fonctions

Ih

(T) = lh(^-^), log[-{a+b^y], lh(x)

sont univoques et continues pour les valeurs considérées de t. C'est la détermination de ce nombre précis, au mojen de a, b, c, d qui va désormais nous occuper : l'égalité précédente met en évidence que sa valeur ne change pas quand on remplace a, b, c, d par — a, — 6, — c, — d.

220. Tout d'abord, nous allons substituer à la recherche de N

valeur est maaifestement une des déterminations de

log JJ(i + i<,.);

il en résulte aussi que la série à double entrée

où n et/7 doivent prendre les valeurs i, 2, 3, ..., est absolument convergente et peut être ordonnée comme l'on veut. Dans le cas du texte, où l'on a ] ^f | <i, on trouve ainsi, en ordonnant suivant les puissances entières de q,

-2] log(i - ç»») =^ a„g";

où a„ est la somme des inverses des diviseurs du nombre n.

la recherche d'un autre nombre entier qui ne dépend plus que de a, b.

Dans le cas où <2 et 6 sont différents de zéro, on doit toujours supposer a eX, b premiers entre eux, puisque ad — bc est égal à un.

Regardons «, b comme des données; c, o? doivent alors former une solution .r = c, y ^^ d àe l'équation indéterminée

ay — bx = i

et comme a, b sont premiers entre eux, toute autre solution sera donnée par les formules

c' = c ■+■ ma, d — d -\- mb où m est un entier quelconque. Soit d'ailleurs

et IS' le nombre qui dépend de <2, Z», c', dJ comme N dépend de a, 6, c, d\ nous aurons

Ih(T') = ]N'^ -i- |log[— (a4-6x)2] -hlhT.

D'ailleurs

lh(T ) =lh(T-rm) = '- H > log(i — q2«);

à la vérité, on aurait dû, dans cette égalité, remplacer q = e^'^' par

mais cette substitution ne peut que changer q en — q et, comme on ne voit figurer que des puissances paires de q, elle est inutile. On a donc

Ih(T') = lh(T) -I- w^ — ,

et, par suite, en comparant les valeurs de lh(T) et Ih(T'),

ou encore

Le nombre N — j reste donc le même quand on substitue à c, d, n'importe quelle solution de l'équation indéterminée

a y — bx = i;

en d'autres termes, il ne dépend que de a, b; il en est de même du nombre entier bN — d el da nombre entier

c'est ce dernier nombre que nous allons chercher à déterminer; une fois qu'il sera connu, N sera aussi connu. Nous poserons (' )

et l'équation (r, ) qui définit N sera remplacée par l'équation

(y.) Ih — — j- = *— !— ' — 7rt+ -log[— (a -hbzy]+lhx,

qui définit le nombre [a, 6] quand a el b sont différents de zéro. Dans le cas où a est égal à zéro, nous poserons encore

bN — d=[o,b],

en sorte que l'équation (x) subsiste 5 nous prouverons d'ailleurs dans un instant que [o, b] est nul, et par conséquent indépendant dé d, ce que la définition précédente ne montre pas tout d'abord. Le nombre [a, b] est donc défini par l'équation (x) pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a. Le symbole [a, b] n'aurait aucun sens si nous y supposions 6 = 0.

221. L'égalité (x), en y changeant a, 6, c, d en — a, — b, — c, — d, montre de suite que l'on a, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entiera,

D'autres propriétés du symbole [a, b] vont s'obtenir en faisant diverses substitutions dans la même égalité.

C) L'introduction du symbole [a, b] et les démonstrations de ses propriétés qui suivent, n°" 221-227, sont dues à M. Dedekind.

T. et M. — II. n

gS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En supposant

OÙ [Ji et V sont des nombres réels dont le second est positif, faisons

Ti — [X -+- V J.

Les deux points t, -| sont symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Les nombres x, — x, sont conjugués; il en est de même des nombres ii, iX), et, par suite, des nombres

q — eTTOj q'= e'^iTO;

ainsi les deux fonctions

h(T) = ^T2 JJ(l g,2«), h(TO = '/'l'^JJ(l -'/''")

sont imaginaires conjuguées. ♦

Si l'on pose

— c -f- dzi

Ti= j 5

îl est clair que les deux points t et ti sont dans la même situation relative que x et x, , puisque

c -h dz c -\- d( — Ti)

a + b-z a-+- b{— ii )

sont des nombres imaginaires conjugués ; les deux fonctions h(T), Ji(t,) sont donc aussi imaginaires conjuguées.

Comme les coefficients a, — b, — c, d de la transformation

— c -h dzi a — 6ti

vérifient la relation ad — ( — b) ( — c) = i, et que les points x, et T, sont au-dessus de l'axe des quantités réelles, on peut appliquer la relation (x) en y remplaçant x et t respectivement par x» et T,, et simultanément a, b, c, d par a, — b^' — c, d. On aura ainsi

<X) lh(Ti)= ^^ — ^:^ TrH-7log[-(a-6xi)2]-^lhTi.

Mais les valeurs principales des logarithmes de deux quantités imaginaires conjuguées sont elles-mêmes des quantités imaginaires conjuguées : telles sont donc les fonctions

ilog[-(a + 6T)2] et Llog[-(a-\-bziy],

log(i — 5r2«) et log(i — 5''2«), Ih('u) et lh(':i), lh(T) et Ih(Ti).

En se reportant aux équations (x), Çk), on en conclut

Cette égalité jointe à l'égalité (i)

[—a,—b] =—[a,b] donne, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a,

(3) [-a,b]=-[a,b], d'où, en particulier, pour a = o,

Ces égalités montrent que, pour le calcul du nombre [a, b], on pourra se borner au cas où a et 6 sont positifs.

222. Changeons maintenant, dans l'égalité (x),t en t H- 1 . Comme, d'après la formule (e), on a

nz=oo

ih(.+T)==(i±il:ii4-2iog[i-(-^)^-] = ih(x) + ^',

on pourra écrire

,, rc-+-c?(T-4-i)"| [a,b]-ha-hd . ,, r / , , s»-, ,, ~«

mais on a aussi, en remplaçant dans la formule (x) les nombres a, b, c, d par a-{- b, b, c -\- d^d^ ce qui est permis puisque {a-\-b)d — (c + d)b est égal à i.

Ih

V c -\- d -+■ dz\ [a-^b.b]->ra-\-b-hd . ,, , , , , s , ..

on en conclut

et il en résulte par répétition, en désignant par n un entier quelconque,

(5) [a -h nb, b] = [a, b].

Ainsi les deux nombres [a, ^], [a', 6] sont égaux si l'on a

a'^ a (mod. b).