Changeons aussi, dans l'égalité (x), t en : il viendra
Ih
[^im-^'^'^'^^^^^^-H'i'-ïïhH-^}
D'autre part, en remplaçant dans la même égalité (x) les nombres «, b, c, d par les nombres — Z>, a, — d^ c, on aura
11 r d-+-Cl'\ \ b,a] — b-+-C . l i r / z. son n / x
Ih j =^ '—^ TTH- log[— (— è + «T)2] + lh(T),
et la comparaison de ces deux expressions de Ih j —-y va
nous fournir une nouvelle propriété du symbole [«, ^]. On a établi (n" 18o) la relation
qui équivaut à la relation
comme on s'en assure immédiatement en supposant a = o, b= i dans la formule
V— (a + 6T)2 = e~~ \/a + bz établie au n° 218 pour un entier positif quelconque b.
On en conclut, puisque ]h(T) est l'une des déterminations de
logh(T),
k étant un nombre entier qui, toujours en vertu du raisonnement fait au n° 181, ne peut dépendre de tt, puisque les trois fonctions
Ih(-l), log(-T2), lh(x),
sont univoques et continues pour les valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles ; d'ailleurs, pour T =r /, on a évidemment A" = o ; donc, on a dans tous les cas
et, par suite,
( [^,^>i^^^^+^^-[-^^]--^'+^,-^^i,gr l^^|yj
224. Supposons maintenant a>»o, 6>> o et faisons la remarque préliminaire que voici : Si x est représenté par un point situé audessus de l'axe des quantités réelles, on pourra prendre pour l'argument ^ de X un angle compris entre o et tt; l'un des arguments de — x^ sera 2^— tt, et cet argument est compris entre — tz et +7t; par suite, le coefficient de i dans log( — x^) sera précisément 2^ — 71, en désignant par log( — x-) la détermination principale du logarithme.
Soient donc X, [jl, v les arguments, compris entre o et - des
nombres t, «t — 6, a qui tous ont pour coefficient de i un
nombre positif. Observons que l'on a jx >> X : en effet, pour construire le point a-: — • 6, on peut construire d'abord le point ai qui se trouve sur la même direction, 'partant de l'origine, que le point T, puis avancer ce point, sur une parallèle à l'axe des quantités réelles, dans le sens des quantités négatives, d'une longueur égale à b : dans ce dernier mouvement,'il est clair que la direction qui va de l'origine au point mobile tourne dans le sens des rotations positives. Puisque l'angle ;j. — X est positif, inférieur à 71 et que cet angle est une des déterminations de l'argument de
— - — ) il ne peut différer de v. Il résulte de là que le coefficient
de / dans
Iog[-(«- -y]-Hlog(-T2)-log[-(aT-è)2] est
2V — Tt + sX — TT — (î'fX — 7C) = — TT.
Dès lors l'égalité (pi) conduit à la relation
qui, en remplaçant [ — b,a] par — [b, a], donne
a[a,b]-^ b[b, a]^ a^-h b^-hi — 3ab =0.
Cette relation suppose a, b positifs ; mais il est aisé de voir, en faisant usage des relations (i), (2), (3), que l'on a, dans tous les cas où a el b sont différents de zéro,
(6) a[a, b]-h b[b,a]-h a^-\- b^-hi — 3ab sgnab = o,
en désignant en général par sgnA, où a est un nombre réel quelconque différent de zéro, l'unité affectée du signe -h ou du signe — suivant que a est positif ou négatif.
