Cette relation (6), jointe à la relation

a -+- nb, b] = [a, b],

permet, dans le cas où a n'est pas nul, de ramener le calcul du nombre [a, b] défini par l'égalité (x) au cas où le nombre a est égal à dzi. En effet, la dernière relation montre que l'on peut toujours remplacer a par le reste de la division de a par b, en d'autres termes supposer |a | << | Z> |; cela fait, la relation (6) ramène le calcul de [«, è] à celui de [b, a]; on remplacera encore b par le reste de la division de b par a, etc. Les nombres que l'on substitue successivement k a, b sont les nombres mêmes que l'on trouve comme restes dans l'opération du plus grand commun diviseur; puisque a et b sont premiers entre eux, deux restes consécutifs sont toujours premiers entre eux et le dernier reste est zbi, en sorte qu'on est ramené à calculer [±: 1, a].

LES FONCTIONS 2^. lo3

'). Le calcul des nombres [i , «], [ — i , «], où a est un entier différent de zéro, n'offre aucune difficulté.

La relation (6) donne en effet, en y supposant 6=1,

a[a, i]-^[i, a]-{- a'^-\- 1 — 3asgna = o;

comme, d'après les relations (5) et (4), on a

[a, i] = [o, i] =0, on peut écrire

(7) [i, a]= 3 a sgna — a^ — 2 = — (a — sgn a){a — asgna).

On déduit d'ailleurs immédiatement de la relation (3) que l'on a

Dans tous les cas, la recherche du nombre [<7, ^] est ainsi ramenée à des opérations purement arithmétiques.

Il serait aisé de démontrer que ce nombre est toujours pair : nous ne nous arrêterons pas à cette propriété dont nous n'aurons pas besoin.