Nous calculerons encore a, 2] et 2, a

On doit nécessairement supposer a impair; en ajoutant à a un nombre convenable de fois 2, on ramènera a à être égal à l'unité; mais la formule (7) montre que [1,2] est nul; on en conclut

On a ensuite

a[a, 2]-T-2[2,a]-Ha2-f-5 — 6 a sgna = o,

d'où

. , ri a--h5 — 6asgna

(9) [2,aJ = -— ^—'

228. Notre but est de ramener le calcul du symbole [«, b] à celui d'une autre expression qui joue un rôle considérable en Arithmétique et que l'on désigne par le sj'mbole

Io4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

introduit par Legendre et généralisé par Jacobi : c'est M. Hermite qui a montré (') le rôle de ce symbole dans la théorie qui nous occupe, rôle que Jacobi avait d'ailleurs soupçonné (^).

Ce symbole peut être défini dans le cas où les nombres «, b sont des entiers impairs premiers entre eux dont l'un au moins est positif, par les propriétés suivantes :

1° Si <2 est positif, on a

2," La congruence

a^= o! (mode),

où a! est comme a un nombre impair et b un nombre positif, entraîne

3" On a, en supposant que l'un au moins des deux nombres a et b est positif,

4° On a enfin, en supposant « >> o,

La propriété 3° est ce que l'on appelle la loi de réciprocité.

229. L'existence, pour chaque couple de deux nombres impairs rt, è, premiers entre euxet qui ne sont pas négatifs en même temps,

d'une fonction numérique \t] qui jouisse des propriétés précédentes résulte en Arithmétique de la signification du symbole ( t )

dans la théorie des restes quadratiques comme aussi de diverses expressions analytiques que l'on en peut donner. Nous n'avons pas à y recourir, car cette existence nous sera assurée par la question

(') Journal de Liouville, 2" série, t. III, p. 26. (') Werke, t. III, .189.

LES FONCTIONS 2r. I05

même qui nous occupe : nous avons seulement à observer que, si l'on admet cette existence, les propriétés i", 2°, 3", 4° permettront de calculer le nombre ( r ) toutes les fois que les nombres «, b seront donnés.

En effet, la propriété 1° permet de supposer toujours que le dénominateur du symbole est positif. Si maintenant a est plus grand en valeur absolue que è, on déterminera le nombre entier n par

les conditions

1 nb <i a <C 1 nb -^ ib ,

et l'on remplacera a par celui des deux nombres a — inb, a — inb — ib qui est, en valeur absolue, moindre que b] soit «, le nombre choisi, qui est évidemment impair et premier à 6; on aura à cause de (2),

Si a^ se trouve être égal à ~b i , la propriété 4" donne la valeur du symbole (t ); s'il n'en est pas ainsi, on ramènera le calcul de

( -^ j au calcul de ( — ) par la formule

qui résulte de 3°; on traitera ( — j comme on a fait pour ( r )> et

comme, en continuant ainsi, les termes des symboles successifs sont des nombres entiers de plus en plus petits en valeur absolue, on finira toujours par être ramené à calculer un symbole

de la forme / =^ j à dénominateur impair positif, symbole dont la

valeur -1- i ou — i sera donnée par la propriété 4°'

Dans cette suite d'opérations, chaque symbole \-r\ est égal

à celui qui le suit, ou à son inverse, multiplié par ± i . Comme

le dernier symbole ( ^=- ) est égal à dr i , il en est de même de tous

qui le précèdent et du symbole {j\ lui-même.

ceux