Observons que le même raisonnement et les mêmes con

clusions subsisteraient si, en conservant les propriétés 2°, 3°, 4°) on remplaçait la première propriété par la suivante

le symbole (j\ ainsi défini serait encore égal à ±: i et par conséquent serait exactement le même que le précédent.

Dans l'un et l'autre cas la loi de réciprocité peut être remplacée par la formule suivante

i)=(rH-

Enfin nous aurons encore besoin de la définition du symbole ( j

quand a est pair; h est alors nécessairement impair, si l'on veut que les nombres «, h soient premiers entre eux. Nous conviendrons alors de prendre

n étant un nombre entier impair tel que des deux nombres impairs a + nb et b l'un au moins soit positif; la définition est

évidemment indépendante du nombre n et le symbole ( ^ "^ j se calculera par la règle précédemment exposée.

231 . Après cette digression sur les seules propriétés du symbole ij\ dont nous ayons besoin pour le moment, rappelons que, dans

l'expression (o) de h(T), c'est la quantité e *^ qui figure. D après

la relation ((J), cette quantité est égale a e ^ . Les pro-

priétés (i) . . . (y) du symbole [«, 6] amènent à rechercher quelle est sur cette expression, l'influence de l'interversion des lettres a, b, à laquelle il faut faire correspondre le changement de c, d en — d, — c de manière à vérifier l'égalité

Soit donc

on aura

, a[a,b]-hb[b,a]-h-a^-hb^-\-ad—bc ~ ab

et, par conséquent,

Nlt/ N'TT/ 71/ , , ,

-73- — rr — sgn(rt6)

en vertu de l'égalité ad — bc =\ et de la relation (6), qui montre que N + N' est égal à 3sgn(rtè).

232. On est amené à chercher à modifier, par l'adjonction d'un facteur convenable, la racine vingt-quatrième de l'unité considérée de manière que le produit qui remplacera

soit égal à