A / 1 > -7-sgn(n

au lieu d être égal a e *

Bornons-nous d'abord au cas où les nombres «, b sont impairs et positifs. Le problème posé sera résolu si l'on trouve une fonction o[a, b, c, d) qui représente toujours un nonibre entier et telle que l'on ait

car on aura alors

' N + ? ) 7t t (N'-+-9'|7tt — TTl ^ ^ (fl — 1)(& — 1)

e 1* xe 1- =e ^ =( — i) *

[on a écrit cp etcp' àla place de o{a, b, e, d), o (Z>, a, — d^ — c)]. Or l'équation de condition peut s'écrire

©(a, b, c, d)-[- ^{b, a, — d^- — c) = 3(rt -l- b — 2) — iab-\- ab{bc — ad),

et l'on voit qu'on y satisfait en posant

C5(a, b, c, d)= 3{b — i)-f- ab^c — ab — ac — bd.

233. Nous sommes ainsi amenés à considérer la fonction des quatre nombres a, b, c, d définie par l'égalité

M TT i

Io8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

OÙ M est un entier défini par l'équation

Nous n'imposons plus, pour le moment, aux nombres a, b d'autres conditions que d'être premiers entre eux et nous allons, dans cette hypothèse, établir les propriétés de la fonction (âf, b, c, d). Tout d'abord, elle ne dépend que des deux nombres a, b, car si l'on j remplace c, d par c + «a, d + nb, M est remplacé, comme il est aisé de le voir, par

or l'un des nombres a, b est impair, l'un d'eux n'est pas divisible par 3; il en résulte que le produit [d- — 1)(^" — i) est divisible par 24; l'accroissement de M étant divisible par 24, la fonction («, b, c, d) n'est pas modifiée par la substitution à c, d d'une solution quelconque de l'équation indéterminée ay — bx = i. C'est ce que l'on avait annoncé.

Il conviendrait d'après cela de faire disparaître c, c? du symbole (a, 6, c, d) et d'écrire par exemple (a, b) au lieu de (a, 6, c, d). Nous conserverons cependant la notation (a, b, c, d) pour faciliter au lecteur l'intelligence des calculs qui suivent. Il est entendu que si, a, b étant donnés, on adopte pour c, d une solution de l'équation indéterminée précédente, on pourrait tout aussi bien en adopter une autre.

234. Des calculs très faciles montrent qu'aux propriétés (i — 9) établies pour le symbole [a, ^] correspondent pour le symbole (a, 6, c, d) les suivantes

■Ki

-(1-t-sgnrt — 2n)

a -h l\ — ^(--flî + 3 — 2sgna)

LES FONCTIONS 3r. IO9

235. La troisième de ces formules coïncide avec la loi de réciprocité relative au symbole (y-j quand ab est positif : nous nous rapprocherons de ce dernier symbole en introduisant à la place de («, 6, c, d) le symbole j relatif à deux entiers quelconques a, h premiers entre eux et défini par l'égalité

Aux propriétés précédentes de la fonction numérique (a, b, c, d) correspondent les propriétés suivantes de la fonction numérique

\j\y où a et 6 sont premiers entre eux,

En écrivant, en dernier lieu, - ' on suppose naturellement que a soit impair. La troisième de ces formules pourrait être regardée comme la loi de réciprocité relative au symbole r •

236. Dans la seconde de ces formules figurent les nombres c, d dont elle est indépendante. En effet, si b est impair ou s'il est divisible par 8, le nombre 6(^^ — i) est évidemment divisible par 24 ; dans ces deux cas on a

et, en général,

fa-f- &"| fa"!

si a est congru à «'(mod. b). Si b est le double d'un nombre pair sans être divisible par 8, b(b- — i) est divisible par 12 et, comme 2Ç -h d est impair, on a

Enfin, si b est le double d'un nombre impair, comme on a

a{'xc -]- d) = i ->r c{b -^ ia)^

et que b + 2<2 est divisible par 4, on en conclut que ic -{- d est de la forme 4^ + i ou de la forme ^n — i suivant que a est d'une forme ou de l'autre. On a donc

où il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que a est congru à + i ou à — i (mod. 4)-

Il résulte aisément des diverses propriétés du symbole j

que ce symbole est toujours égal à l'un des quatre nombres ± i, ± i. Il suffit de raisonner sur ce symbole comme on a fait au

n° 229 sur le symbole ( | j -

237. Dans le cas où a, b sont des nombres impairs dont l'un au moins est positif, on voit que l'on a

La dernière formule suppose naturellement que a soit positif. On en conclut que si <2, b sont deux nombres impairs, premiers

entre eux et dont l'un au moins est positif, le symbole v est

identique au symbole i-r) de Legendre, généralisé par Jacobi.

Lorsque a est pair et b impair, on doit prendre

où n désigne un nombre impair; mais alors a-\- nb étant impair et l'un des nombres a + nb, b étant positif, ^^-^ — est iden-

LES FONCTIOiNS ^. III

tique à ( — -, ) en vertu des remarques antérieures relatives

Ml]-

Le symbole j est donc identique au symbole f r ) dans tous

les cas où ce dernier symbole a été défini : il doit en être regardé comme la généralisation.

238. Si l'on applique successivement les relations (9), (v) et (p), on a

---—lS{b — l) + ab*c — ab — ac — bd]

[a~\ —~iZb + ab'ic — ab — ac — bd — 3sgnl>) b\'

En réunissant les résultats acquis, on voit donc que l'on peut mettre dans tous les cas la relation (3) sous la forme

/vTir X i-/ X r<^1 -^\3{b-ssnb) + ac(b'--l,-b{a-\-d)]i

l'argument de ^ — (a + à-:)'^ étant compris entre — 7 et + y et le symbole j étant défini par les propriétés ci-dessus du n° 237 qui permettent de le calculer.

239. On en déduit immédiatement les valeurs des racines huitièmes de l'unité e, s', t", t'" qui figurent dans les formules (XLII). D'après la formule (^), on a, dans tous les cas,

h{T) = z^ s/a-^bzhi-z).

En élevant au cube les deux membres de cette relation, puis remplaçant h^(T) par sa valeur tirée de la relation (XXiVts), on a immédiatement

P -, 3 ab + ac + bd — ach^ — %b (XLII5) '"[fj '

d'où, par les formules (XLIIy^g)?

Le problème posé au n" 179 est donc résolu.

240. On peut écrire la formule (XLVis) d'une manière un peu différente de façon à n'j faire figurer que le symbole de Legendre- Jacobi.

L'un des nombres a, 6 est impair et comme l'on peut dans

T ^ -j— changer les signes de «, b^ c, d, on peut toujours

supposer que c'est le nombre dont on sait qu'il est impair qui est positif.

On distinguera donc deux cas :

1° b impair et positif. Alors on a

sgn6 = I,

ra=a-

et, comme on l'a vu au n" 218,

y/— (a -H 6x)2 = e 4 \/a -h bi , la partie réelle de la racine carrée étant positive. Mais, comme b est positif, on a aussi

e '* \/a -1- ÔT — y — i{a -\- bz) ,

si l'on entend par yj — i(^a -\- bi) celle des deux déterminations de la racine dont la partie réelle est positive : les arguments des deux

7ti

quantités e \la-[-b'z et y/ — i{a-\- b-), dont les carrés sont

égaux, sont, en effet, tous deux compris entre — ^ et + j«

On a donc, dans ce premier cas, puisque b- — i est divisible par 8,

(XLVie) h(T) = Uji2 e '2 y i^a + bz)h{x).

2" a impair et positif. En appliquant la loi de réciprocité du sjmbole j donnée au n" 235, on a, puisque a est positif.

LES FONCTIONS 3^. Il3

Mais, puisque a est impair, - est certainement identique à f - M dont la valeur est + i ou — i ; on peut donc écrire

D'ailleurs, comme on l'a vu au n° 218, on a aussi

4/ sgno / —

y' — (a-+-6T)2 = e * i^a-^bx^

la partie réelle de la racine carrée étant positive. On a donc, dans ce second cas,

h(T)=(-je *2 V'«+^'h(x).

Le coefficient de — — dans l'exponentielle est égal à

3(i — a) -\- lab -^ acb^ — ac — bd — Z{i — a) -^ ab ^ a- bd — ac — bd: on aura donc finalement

/b\ — - - — [a[b-c) + bd(ai — l)\ , j— , , ,

(XLVIe) h(T)=(-)i^ e 12 Wa^bzh{x).

Les formules (XLVl5 6) ont été données par M, Weber('), qui en a présenté la démonstration sous forme de vérification.