On peut aussi écrire la formule (XLII5) de manière à

i\y faire figurer que le symbole f ^ | de Legendre-Jacobi; il faut

encore distinguer le cas où b est impair et positif de celui où a est impair et positif. On arrive aisément aux résultats que voici :

i" Si 6 est impair et positif, on a

(XLIIe) '=(?)' ' •

2" Si a est impair et positif, on a

( XLIIs) s = ( - ) i ^ •

(') Elliptische Functionen, p. 100.

T. et M. — II.

Si l'on suppose que a el b sont impairs et positifs, ce qui ne peut arriver que dans les cas 3" et 4" du Tableau (XXg), les deux formules coïncident, comme il résvilte immédiatement de la loi de réciprocité et de la congruence

ab — ac -^ hd — ia — 26-i-2==o (mod.8)

qui a lieu en vertu de la relation ad — bc ^= i, lorsque des quatre nombres entiers a, 6, c, d, un seul, c ou d, est pair.

§ VII. — Transformation quadratique des fonctions Thêta.

242. Aux formules précédentes qui concernent le cas où les quatre entiers a, ^, c, d caractérisant la transformation considérée sont liés par la relation ad — bc=i, viennent s'ajouter, comme dans l'étude des fonctions du, d^a, d'autres formules qui concernent le cas où le déterminant ad — bc est un entier quelconque. Cet entier est Vordre de la transformation. Nous envisagerons d'abord le cas où il est égal à 2.

Le raisonnement du n" 130 s'applique aux fonctions Sr(ç') aussi bien qu'aux fonctions 3'«, d^a, avec cette restriction que les systèmes de demi-périodes improprement équivalents au système ((0), W3) sont exclus (n° loi) pour les fonctions S7((^). Il suffit donc de considérer la transformation d'ordre 2 où l'on change w,

en — sans changer (O3, ce qui revient à changer v en 2^» et t en 2T,

et la transformation d'ordre 2 où l'on change (O3 en -- sans

changer w,, ce qui revient à changer simplement t en - • La première de ces deux transformations est la transformation de Landen, la seconde est la transformation de Gauss.

243. En combinant les formules concernant ces deux transformations et celles que l'on en déduit immédiatement concernant les transformations inverses, entre elles et avec celles déjà établies qui concernent la transformation linéaire, on aura toutes les formules de transformation quadratique des fonctions 2r(p). Les formules de transformation dont l'ordre est une puissance entière de 2 s'obtiendront de même, par la combinaison et la répétition des transformations précédemment définies.

LES FONCTIONS &. Il5

244. JNous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les fonctions 2î(2t^|2T), d'autre part les fonctions 2r(p -)> au moyen des fonctions 3((^ |t).

Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions du^ d^iU, par de petites capitales, les constantes relatives

aux fonctions d(u — > W3), o'^f^f — j 0)3 j et S(2p|2t). Ainsi nous poserons

<XLVIIi)

Qo^

V = oo

Les quantités q, Oq, Qi, Qo, Q3 sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques (XXVIIIs.e) qne les quantités q, Ça, q\^ qi, q^'

Nous désignerons de même par de petites capitales accentuées

les constantes relatives aux fonctions 3* (m | oj,, — )> s'a! ?^ 1 10,, — ) €t Srft' - j • Ainsi

1 TTCf

V=:l V = ao

Qi==

On a évidemment, d'après les expressions de Qq, Q3,

<^XLVll2) Qo = qoqi,

d'où l'on tire inversement

Q3= qïq%— — ' ^1

7î=QoQ:i.

Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

De même, d'après les expressions de q^, q\, Qo, Qj, on a

d'où l'on tire inversement

(XLVIII2) Q'o^çoqs, Qi^ — = g'i?2.

245. Transformation de Landen. — Si l'on passe des fonctions d, da. aux fonctions 2? au moyen des formules (XXXIII, ^), on a le moyen d'exprimer les fonctions 2r(2(^| 2t) au moyen des fonctions 2» (ç^ | x). Par exemple, la formule (XXII, )

/ iû, \

cl u

— ,u)3)=e2 a'ua'iu

donne immédiatement

A cause de la valeur (XXII4) de h,, on voit que le facteur exponentiel est le même dans les deux membres; on trouve ensuite très facilement, en réduisant au moyen des relations déjà écrites (XLVIIo) entre Qq, Q3, ^0, q\-, q-i, q%-, Ja formule

qi On a d'ailleurs

qo QoQI STiCola-c)

la dernière égalité ayant lieu en vertu des formules (XXXVIo) qui seront d'un usage constant dans ce qui suit.

On trouve de la même façon, au moyen de la formule (XXIIIa),

^3 1 u la relation

qo Au reste cette dernière relation aurait pu aussi bien se déduire de

LES FONCTIONS S. lîj

celle relative à ^i (ap [ 2t) en remplaçant p par p H — et en se servant des formules (XXXIVc). On a, en effet, par ces formules

&i(2p + t|2-)= iq *e-2'w2rv(2p|2T),

et il suffît de remplacer dans l'égalité qui donne l'expression de 2r, (2p| 2-), pour avoir celle qui fournit l'expression de ^4(2^ | ax). Inversement, par la même opération, on passerait de cette seconde formule à la première.

Si maintenant on fait la substitution des fonctions 2r aux fonctions a" dans les formules (XXllI,); si l'on remplace ensuite y/c, — 60 , \/e, — 63 par leurs valeurs (XXXVIo, /,)

on obtient aussi

D^ailleurs on trouve très aisément

2Q*QoQÎ On a donc

^q'9lq\

Exactement de même, en partant des formules (XXIIT2), on trouve

4q*qoq! qM. + qz)

-et l'on a d'ailleurs

4Q*QoQ? = 22r2(o|2x).

Il8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

246. On prévoit que l'on doit pouvoir transformer l'une dans^ l'autre les relations qui fournissent les expressions de ^2(2^ | 2t),

213(2(^1 2t), en changeant v en v -] — et en se servant des for-

mides (XXXIVe). Mais tandis que, tout à l'iieure, ce changement ne nous a rien donné de plus que ce que nous savions déjà, il va, cette fois, nous donner des relations entre les constantes. Si, en effet, dans les relations du numéro précédent, on change ç en