XLVII
2&|(ol2T):-&i(o)-2rKo),
2Srl(o|2T)=2r|(o)+2rUo),
relations auxquelles il convient d'adjoindre les relations suivantes obtenues en faisant i^' = o dans les deux dernières formules de
LES FONCTIONS &. Iig
Iransformation et dans la première divisée préalablement pari^,
/ 2372(0 i2T)2r3(o|2T)=:Sr|(o), (XLVII4) 2r|(ohT)=2r3(o)3r,(o),
' 22rj(o [ 2x)2ri(o I 2x)= S'i(o)2r2(o).
Les deux avant-dernières formules sont d'ailleurs une conséquence des relations (XLVIIo)
de même que celles qui les précèdent équivalent à celles-ci
(XLVIIO
' 8Q-^Qo2Qt= qliq^i — q^z)-
xA.insi, comme on a q" = q, on voit que lesquantités Qq, Q^, Q2,
Q3 s'expriment algébriquement au moyen de q, q^^ q^, q.2-, qz- De même pour les fonctions 37',(o[2t), 2to(o j 2t), 2r3(o[aT), 2*5(0 I 2t) et les fonctiojis 27, (o), 272 (o), 273(0), 2r4(o) de la variable T.*
247. Transformation de Gauss. — Les forn^ules (XX1V<, XXVi 3) qui expriment <3'(?^|w,, — - )? s'af^jw,, -^\ au moyen de a'(w I (1), , (03), a'a(« I <i)) , (03), permettent d'exprimer, d'une manière toute semblable les fonctions ^iv 7 ) au moyen des fonctions 3(p |t). Nous ne développerons pas les calculs qui présentent exactement les mêmes circonstances que ceux de la transformation de Landen, que nous venons de faire.
On trouve directement, au moyen des formules (XXIVi,
xxvo,
Q*QoQi
/ I ^ \ 2r2(p)2r,(t;) ^ i%iv)%{v)
et l'on passe d'une formule à l'autre par le changement de v en V -{ Au moyen des formules (XXV2..3), et en tenant compte
de la relation (XXIV4), on a ensuite
puis, par le changement de i^ en v -\ — ?
^*(^ro=^f^^^^^-^^^^^^
QoQ?[^!(«^) + Srf(p)] 5^0 (^'2 + 49-' 5-1 )
d'où l'on conclut les formules
Sr, ( o
T\ &|(c^)-2rf((.) 2rl(p)^-&|((^)
Sr. o
Sr.i ( o i -
et les relations
2r|fo
:22r2(o)2r3(o), (^oj^) = 2r|(o)+2rl(o), 2r!(ojj) = &|(o)-&l(o),
qui équivalent aux suivantes :
!' 00 = ^0 5^3, q'i == q\q'>., ^èq\q\ = ^^Wè-^n^
dont les deux premières ont déjà été établies au n° 244.
On peut vérifier que les relations (XLVIII-i) sont, au fond, identiques aux relations (XLVII4) ; on passe des unes aux autres
en changeant t en --
248. Les relations (XLVIlo) qui lient algébriquement les quantités q, ^Oî ^n ^11 ^3 ^^^ quantités Qo, Q,, Qo, Q3 et les relations (XLVIIIo) qui lient algébriquement les quantités Q', Qj,, Q, , Q',, Q3 aux quantités q^^ ^,, q^^ q^ permettent d'établir des formules iiltéressantes concernant la transformation quadratique des fonctions modulaires h(T), ^(t), ^(t), y{'^)-
La définition de la fonction h(T) donne
h(2T)=Q^Qo=^'^g'o^i; en élevant les deux membres au carré et en faisant usage de la rclation (XXXVIo), ^2(0) = '^q^q\q'* -, on a donc
(XLIXi) 2h2(2T)=h(T)2f2(0).
On a de même
d'où, en faisant usage de la relation 2r4(o)= ^0^35
(XLIX2) ,h2Q) = h(T)2r,(o).
En changeant dans cette dernière égalité t en t + i . et en faisant usage des égalités (XLIILo) et (XLV,),
2r4(o I X + I) = &3(o), h(T + 1) =. {/ni(x),
on a aussi
(XLIX3) h2(^^)=^7h(-)3r3(o).
249. Si l'on résout par rapport à ^,, q^, q^ les équations (XXXVlIIi, 2, s) qui définissent <p(t), ^]>(t), '/(t), on trouve
et l'on aura de même
Q.=^-.''îl::5
En portant ces valeurs dans les relations (XLVII2)
on trouve, après des réductions immédiates, les trois formules
A cause de la relation y3(T)= cp(T) <}(t), la première de ces formules peut s'écrire
(XLIX4) «|;(2T)çp(T)=V^I)((^)X(2^);
en éliminant '/''(')? ^'^ ^ ensuite, à l'aide des deux autres formules, les relations
A cause de la formule cp^(x)H- t|;8(':):::ir i^ on a aussi
d'où l'on tire, en extrayant la racine carrée et en observant que les deux membres doivent être positifs pour -z purement imagi-
naire,
(XLTXs)
ÇH^T):
i-t-tl/H.t) ^'*{'^)
230. En remarquant que la transformation quadratique équivaut à la suite de transformations
en appliquant ce résultat à la fonction y (x) et en tenant compte des formules (XLV) et (XLIX, ), on trouve sans peine
