Le cas où l'on divise la seconde période par un nombre
impair n, et la recherclie des expressions des fonctions 3 (v — )>
au moyen des fonctions .^((^), se traitera de la même manière.
Partons, par exemple, des formules (XXVIIi 3), et, tout en conservant les notations précédentes pour ce qui concerne les fonctions C3'(?^ | w,, 0)3), (3'a( m | to, , Wj) et .^((^|t), désignons par de petites initiales affectées d'un accent les constantes relatives
aux fonctions a" ( m | w, , — j j (s'a ( w | co, , — j et 3 ( ç^ - j ; en d'autres termes, posons
(LU
Qo =
LES FONCTIONS 3r,
Soient aussi, pour abréger,
ï Or- / "ï \ I ■^ ,, M-
^, = ^=Q3'Qo.
Nous aurons alors, en passant des fonctions a", c'a aux fonctions •^1 } «^a+i 3
A',2rjJ^j=e<Va,2r.(.)JJ
Aa + i ^a+i ( i'
(;•) ^a+i (/• = 7-1, Ta, . . ., r^-i),
oià t|^ représente l'expression
20), ^ '' L\2Wi n / n-^ J
qui se réduit immédiatement, et est égale à Si l'on pose, pour abréger.
l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les formules précédentes prennent la forme
1 ^■(^ir.)=*'"'"'""^'<"'n^'(''^-ir'
de sorte que le problème de la transformation de t en — est ramené au suivant :
Exprimer, au moyen de q, les quantités bi, ba.+{ définies par les formules (LII5).
263. Il est aisé de voir comment, au moyen des formules (XXXIV), on passe de l'une des relations (LII4) aux trois autres en ajoutant
successivement a 1 argument v les quantités - 7 -5 • Un trouve
ainsi, par un calcul très facile, en comparant les résultats, et en
se rappelant que 2, ~ ^^^ toujours un entier de même parité que
Il nous suffira donc d'exprimer, au moyen de ^, l'une des quantités bt, by, b^, b/,.
264. Nous commencerons par exprimer, au moyen de q, les différents produits
UH'^)' n^-('^
Si l'on se reporte à la formule (XXXII7 /,is)
0» -) = gofiz),
LES FONCTIONS S. l4l
OÙ
V = oo
f{z) = JJ(I + 7'-V-1^2) (I + 5,ÎV-l^-2),
et si l'on fait
rXTZi r
on aura manifestement
- In}
JX P3(^,.) = g'o' /(-i)/(^2)...//^^,\,
en sorte qu'il suffira de calculer le produit
qui peut s'écrire
Or on a, comme on le reconnaît de suite, en écrivant les facteurs de la quantité entre crochets, de manière que les exposants de q aillent en croissant,
^ r (2V — Uff 4-2/- 'I r (2V— l)n-2r"|
Il Li^-(7 " JLi + y " J
r ttI 2(v-i)/»-i-atJ— 1 I
lj,=i
et, par conséquent, le produit cherché est égal à une fraction dont le dénominateur est égal à
tandis que le numérateur est égal à
(l'égalité résulte de ce que, dans le premier membre, les exposants de q sont tous les nombres impairs divisés par n). On a donc
et par suite (LII2)
Par un calcul tout semblable, on obtient de même les relations
265. C'est en nous appuyant sur la première de ces relations que nous allons exprimer 63 en fonction de q. Comme on a manifestement
on en con
dut
Ir — n
d'où
LES FONCTIONS &. l43
et par suite
n^'(~)=n.-(->=^"-'n/<-)=^êf-
Mais il résulte des formules (XXXTV5) que l'on a
donc la fonction
ne change pas quand on remplace r par r -\- n; par suite, le produit
JJ^"'^3(^) (/• = /•„/•„. ..,/'„l)
ne change pas quand on remplace r,, To, . . . , /'„( par un système analogue de nombres entiers. On aura donc
et, en se rappelant l'expression de la somme des carrés des n — i premiers nombres entiers, on trouvera, après des réductions immédiates,
En se reportant aux valeurs de a^ et de A'^, on a donc
{LIU) ter 63— -^q' ('■) , {r = ri,r.y, ..., r„-i).
Cette expression se réduit à — ^ lorsqu'on prend pour /• les nombres
266. A l'aide des relations (LII5) (n°^262, 263, 26o), on ob-
l44 CALCUL DIFFÉRKNTIEL.
tient immédiatement les relations suivantes , qui peuvent être utiles; la troisième a déjà été obtenue au numéro précédent.
(n — 1)(n — 2) yi '■'
(Ji
On a aussi les relations suivantes
(LIIg)
'» n'— 1 yi r5
qui résultent immédiatement du calcul des quantités b\i ba,+{, si l'on prend pour r les nombres ± /'), ± To, • • -, ± ''„i-
Comme on a d'ailleurs
Al «1
&; co^
A'ao-i 2r^a-ifo)
on pourra exprimer ^\(o\ — j, ^oi.+\ (o l? 3" moyen de ^\(o), S"a+) (o), ||^M~)' Il '^a+i ( — -)• Nous laissons au lecteur
le soin d'écrire ces formules.
267. Les formules (XXVII^), qui expriment les fonctions rffw lù^, —j, <i(^(u (jii,—) au mojen des fonctions (iu, cia.11,
- I au moyen
nous permettent d'exprimer aussi les fonctions ^ 1 ^^
des fonctions 2»(*^)- En passant des a* aux 2r à l'aide des relations (XXIII, /,), et en remplaçant, à l'aide des relations (XXXIX5), les produits {e^. — e^){e^ — e^) par les quantités 2^^+1(0), on obtient aisément les formules suivantes :
«1 «SZî ^
2rK0
2rf(.)
268. En changeant, dans ces formules, v en v -\- - y v -\ — ,
(^ -1 , on obtient six expressions pour chacune des fonctions
^ iv - ] au moyen des fonctions 21(^17); elles se réduisent à
trois, si l'on tient compte des relations (LIIc).
On remarquera d'ailleurs que les deux problèmes qui consistent à exprimer les fonctions '^[nv\nz) au moyen des fonctions 2r(t'|T), et les fonctions ^ iv -\ au moyen des fonctions
2r(t' |t) ne sont pas réellement distincts; on ramène l'un à l'autre par des transformations linéaires. En effet, pour exprimer les
fonctions 2r(p - j au moyen des fonctions 3(t'|T), on peut exprimer les fonctions 3 ( ç^ - j au moyen des fonctions 2r [ — — - )
(c'est une transformation linéaire); puis, exprimer les fonc- T. et M. — II. 10
lions 3 ( — j au moyen des fonctions ^ (- — - ) (c'est le
premier des deux problèmes); puis, enfin, exprimer les fonctions ^ [z — ~) ^^^ moyen des fonctions 2r(p|T) (c'est encore une transformation linéaire).
269. En se reportant aux définitions des fonctions modulaires
qi q-i q%
et aux expressions des produits
au moyen de «y, Qq, Qa pour les uns, de </, q„, q^ pour les autres, on obtiendra immédiatement les relations suivantes :
(LUI
LES FONCTIONS 2r.
(LUI
270. Il importe de remarquer que, puisqu'on sait exprimer les
fonctions Bi{nv\nx), 2rf(^ -j au moyen des fonctions 2r(p|T),
on sait, par cela même, exprimer, au moyen des fonctions 2r(p|T), les fonctions ^(nç\x); ces dernières, en effet, sont des fonctions entières, homogènes et du n''^"^^ degré des fonctions
- ), comme le montrent les formules (Lls^g)? et les fonctions
- ) sont des fonctions entières, homogènes et du /i»«™e degré
des fonctions 2r(p | tJ, comme le montrent les formules (LU); les fonctions 2f(/îp) sont donc des fonctions entières, homogènes et du degré n^ des fonctions S»(p). Cette conclusion subsiste même si n est pair, comme il est aisé de le voir en pensant aux formules relatives aux transformations de Landen et de Gauss. Si l'on se borne au cas où n est impair, on obtient des formules équivalentes à celles dont nous venons de décrire la formation, en combinant les formules (LI,) et (LII4), où les expressions des fonc-
l48 CALCUL DIFFÉREÎ^TIEL.
lions ^{nv\ nx), 3[p -j comportent chacune un produit de
n fonctions 2r d'arguments différents; l'expression de chacune des fonctions 3(«p I t) comportera ainsi un produit de ai^ fonctions S; on trouve, en effet,
Ij i>
