LIV

VT

VT

en supposant

et en ayant posé, pour abréger,

-, ''rt-1,

-1 1 yi

271. Il est bon de jeter maintenant un coup d'œil d'ensemble sur les résultats obtenus dans les précédents numéros.

Que n soit impair ou pair, les fonctions ^(nv\ni), ^ (ç — j

sont des polynômes entiers homogènes, du degré n par rapport aux fonctions 2f(t^ [t), choisies convenablement. On peut dès lors regarder comme résolu le problème suivant :

Étant donnés quatre nombres entiers, a, b, c, d, dont le déterminant (Q = ad — bc est positif, exprimer les fonctions .^(p|t) au moyen des fonctions 2r(v | t), en supposant

V c -h dx

a -t- o-z a->!- ox

Reportons-nous, en effet, aux résultats obtenus dans les n°* 130-

LES FONCTIONS 3^. l4g

133; reprenons les notations employées alors et rappelons-nous que nous ne considérons plus que des transformations à déterminant positif; on pourra énoncer le théorème suivant.

11 existe, d'une part, deux nombres entiers positifs )v, [a, assujettis seulement à vérifier la condition

X;jL = ad — bc,

et à avoir pour plus grand commun diviseur le plus grand commun diviseur des nombres a, h^ c, d\ d'autre part, deux systèmes a, p, y, o; a', (S', y', S' de nombres entiers, vérifiant les conditions

a3 — Py = i, a'o'— P'y'=^ I,

et tels que l'on ait

{a + h'z){a!-^ ^'T) = X(a-+-pT), (a-h 6t)(y'-^8't) =^ ,a(Y-i-3T),

il suffit, pour s'en convaincre, de supposer, dans les n°' 130-133,

mais, en vertu de la théorie de la transformation linéaire, les fonctions 2r((^|T) ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions

ces fonctions sont des polynômes homogènes et du degré ). par rapport aux fonctions

LX(a+pT) X(a+pT)J

qui, en vertu des égalités précédentes, sont identiques aux fonctions

[a' -H ^'t iJt(a'-l- P't)J '

et ces dernières sont des polynômes homogènes et du degré u par rapport aux fonctions

l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions 2r(v | t).

Finalement, les fonctions 2r(t'|T), à part un facteur exponentiel qu'il serait bien facile de calculer, sont des polynômes homogènes, de degré X[x == ad — bc par rapport aux fonctions 2r(v | t). Le théorème du n" 130 conduit donc bien à l'expression des fonctions S((^ I t) au moyen des fonctions S(v | t), et l'on voit clairement le rôle des nombres X, [jl et l'avantage que présente leur introduction. C'est toutefois par des opérations arithmétiques exécutées sur les entiers «, Z>, c, d qu'on obtient ces nombres X, p., el il serait évidemment très intéressant d'avoir l'expression explicite, au moyen de ces nombres et des données, des polynômes en 2f(v I t), expression dont nous venons d'établir l'existence. C'est, toutefois, un problème que nous n'aborderons pas ici (' ).