IX. — Sur un théorème de M. Hermite
Relations entre les fonctions &. Théorèmes d'addition.
272. C'est à la théorie des fonctions d que nous avons rattaché la définition et les propriétés des fonctions .^. Toutefois, nous avons vu comment, dans bien des cas, il était tout aussi facile d'établir ces propriétés en partant de l'expression même' de ces fonctions et, en particulier, de celle de la fonction
qui est très simple.
M. Hermile a montré comment on pouvait prendre pour point de départ des séries analogues à celle qui précède pour engendrer des fonctions plus générales, en un certain sens, que les fonctions Ef, qui toutefois, au moins dans le cas que nous considérons spécialement dans ce paragraphe, ne sont pas autre chose que
(•) Dans un Mémoire inséré au Tome XLIII des Mathematische Annalen, M. Krazer a résolu cette question et même une question plus générale. La méthode suivie par M. Krazer, où interviennent les séries trigonométriques et ces sommes de Gauss qui avaient déjà permis à M. Hermite de traiter le cas de la transformation linéaire, n'est pas de nature à être développée ici : nous nous
LES FONCTIONS 3r. l5l
des combinaisons très simples de fonctions exponentielles et de fonctions 2r prises avec des arguments convenables. L'illustre auteur a en outre établi, relativement à ces fonctions ainsi formées, une proposition très importante qui peut servir de principe dans
contenterons d'indiquer les notations dont se sert M. Krazer (notations qui sont aussi celles employées par MM. Prym et Krazer dans leur Ouvrage : Neue Grundlagen einer Théorie der allgemeinen Thêtafunctionen), et la nature du problème qu'il traite.
Il désigne par le symbole
la somme de la série
ra<"
V ea(m+g)^+2(m+g\(u+li-Ri) ^
où m prend toutes les valeurs entières; a est la même quantité que nous désignons par xTzi; u est la variable que nou^ désignons par VTzi; g, h sont des con. stantes réelles quelconques. Pour nous rapprocher de nos notations, nous considérerons, en lui donnant le sens précédemment défini, le symbole
en attribuant -a g el à h, dans ce symbole, les valeurs o, o; o, - ; -> o; - > -, on
trouve les quatre fonctions ^^{v\-z), Sr^(f | t), Srj( f I t), i2r, ( t; | t).
Ceci posé, en désignant par a, b, c, d des nombres entiers dont le déterminant ad — bc est positif, et en posant
V c -h dr
bz
on peut exprimer la fonction
au mojen d'un nombre /ini de fonctions
La méthode suivie par M. Krazer consiste à décomposer la transformation
I , ) en transformations de types déterminés à coefficients rationnels, et à
établir la formule de transformation pour ces transformations particulières. En combinant ces formules, il parvient à la formule générale, qui appartient bien au type que nous avons décrit dans le texte: mais cette formule, d'ailleurs assez compliquée, est explicite, et n'implique pas un calcul arithmétique auxiliaire comme celui des nombres X, ji.
l52 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
la théorie des fonctions doublement périodiques; nous allons donner, d'après lui, quelques indications sur ce sujet.
273. Soit h un entier positif et considérons la fonction ^(m) définie par l'égalité
(LVi) *(a)=2A„^^e2«'^''r=2A,
OÙ les Art sont des constantes qui se reproduisent périodiquement de h en h. Puisque la valeur absolue de q est plus petite que i , il est clair que la série qui figure dans le second membre est absolument convergente et définit une fonction transcendante entière de la variable u] celte fonction admet manifestement la période aw,. D'ailleurs, en décomposant en carrés l'exposant de e regardé comme un trinôme du second degré en /i, on obtient
d'où l'on conclut
'P(u)e'*^^^^—y^ Ane /'"i V""^?*^/ .
Si l'on change u en 11 + 20^3, le second membre ne change évidemment pas, à cause de l'hjpolhèse
il en résulte que le premier membre admet la période 2W3, et l'on en conclut immédiatement
hni , {u+ 0)3)
C'est là une propriété analogue à l'une de celles qui ont été établies pour les fonctions 27.
274. Le théorème de M. Hermite consiste en ce que la fonction <[>(?^), formée comme on vient de l'expliquer, est la fonction transcendante entière la plus générale qui jouisse des deux pro-
LES FONCTIONS S. l53
pnetes
/ ^{iC -r- 210,) = ^{ll),
(LVO
1 hTZi
Considérons, en effet, une fonction transcendante entière ^{u) qui jouisse de ces propriétés. Puisqu'elle admet aw, pour période, c'est une fonction univoque de
car cette dernière équation fait correspondre à chaque valeur de x une infinité de valeurs de u en progression arithmétique de raison 2 0), pour lesquelles la fonction ^{u) doit reprendre la même valeur; en d'autres termes, la fonction
<I> ( — : loea: )
n'a qu'une seule valeur, quelle que soit la détermination choisie pourlog^; d'ailleurs aux environs de toute valeur x^ différente de zéro, l'une quelconque des déterminations de la fonction log^ est régulière; il en est donc de même de la fonction de x précédemment définie, puisque $(m) est, par hypothèse, une fonction (transcendante) entière. Mais alors, en vertu du théorème du commandant Laurent, cette fonction de x peut être mise sous la forme
les quantités A^ étant des coefficients indépendants de x. En modifiant un peu ces coefficients, on peut donc écrire
.^^^ n» nuTZi ^.^^ n'(ù,TZi , nwiZi
Aw,
hu'^TZi
'TCt ^,^ WjTÇj / hii \ '
et, puisque la fonction
Am* 7C I
doit, par hypothèse, admettre la période 2CO3, il doit en être de
l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
même de la fonction
ûi V 2W8/ •
on en conclut, en changeant u en «^ + 2^3 et n en /i — h,
ou
2 A„ gr"^ x'^ =2 ^«-/' '7^ ^" ;
or le développement, suivant les puissances entières positives et négatives de ^, d'une fonction univoque de x, régulière aux environs de chaque point a;, sauf le point ^ = o, ne peut être effectué que d'une seule façon; on a donc
Art = A-n—k j
c'est ce qu'il fallait démontrer.
dans la théorie des fonctions doublement périodiques, résulte de la remarque suivante : Une telle fonction, outre les données Wi, (03, h, contient h constantes arbitraires Aq, Ai, . , ., A/^^. Considérons une autre fonction W(«) formée de la même manière avec d'autres constantes Bq, B,, .. ., Ba) ; on voit de suite, en se reportant aux propriétés fondamentales de la fonction 4>, que
l'expression
OÙ a désigne encore une constante arbitraire, admet les deux périodes 2 0J,, 20)3. Voici donc une manière de former, par le quotient de deux fonctions transcendantes entières, une fonction dou-
LES FONCTIONS 2^. l55
blement périodique, contenant a/i constantes arbitraires, savoir ; Ao Al A/j i B, B/i-t
Bo Bo Bq B|) Bo
On verra plus tard que c'est l'expression la plus générale des fonctions doublement périodiques univoques n'admettant pas d'autre singularité que des pôles et ayant h pôles dans le parallélogramme des périodes.
276. Revenons à la fonction ^{u). On peut, en réunissant dans la série qui la définit les termes qui ont un même coefficient, l'exprimer comme il suit
*(?/) = Ao<î>o-4- Ai«ï'iH-...H-A/,i*/,i, en posant
(nh + r) hn'
• V^ -, — Inh + r-i-z —
o,w, X ghtsii \ 20)3/
hn- TT / WsTt// , . . lui
Dans ces formules, ;• est l'un quelconque des nombres o, i, 1^ . . .^ h — I ; on peut même lui donner telle valeur entière que l'on voudra, pourvu que l'on convienne que le symbole <ï'/-(^^) représente toujours la même fonction quand on remplace le nombre entier /' par un autre qui lui soit congru suivant le module h.
Sur la première définition de la fonction $,-(«), on voit immédiatement que l'on a
Sur la dernière, au contraire, en désignant par s un entier quelconque et en remplaçant u par u-{-s—r-y on aperçoit de suite la propriété qu'exprime l'égalité
h-Ki , . s hTZi / 2 W. \ »
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OU
Si l'on prend en particulier /• = o, el que l'on écrive ensuite /• au lieu de s, on a
on a d'ailleurs
«Ï>o(m) =V ^"'/'e~^w, = V qn-' h g^nhvTii ^ '^■i{hv \ hz),
et, par suite,
(LV3) ^r{u) = q*' e2/-»'W2r3(Ap h- ri \ hx).
Remarquons en passant que, puisque l'on connaît les zéros de la fonction ^3, on a par cela même les zéros de la fonction $;-(m).
277. De ce que "ï* (m) est la fonction la plus générale vérifiant les équations (LV2) on déduit, entre autres conséquences, en remarquant que, pour h = i, on a
*(«) = Ao*o(fO = Ao2r3(p),
où Aq est une constante arbitraire, que K^'^^i^v) est la fonction entière la plus générale f{v) qui vérifie les deux équations fonctionnelles
--e ^^'^iiv),
et cette propriété peut servir de définition à la fonction 2î3(t^) si l'on j joint la valeur de ^^ (o).
278. Nous allons maintenant, en l'appliquant à quelques exemples, montrer la portée du théorème de M. Hermite.
Considérons d'abord les carrés des quatre fonctions S ( ^)«
En désignant par ^{11) l'un quelconque de ces carrés et en se reportant aux formules (XXXIVs^s), on voit de suite que la
LES FOXCTiONS 2r. i5y
fonction 4> (u) jouit des propriétés
Ces équations ne sont autres que les équations fonctionnelles fondamentales dans le cas de /i = 2. Il résulte de là que les quatre fonctions Sr-(p) sont, d'après le théorème de M. Hermite, des fonctions linéaires des deux fonctions •ï>o(w), ^i(u). Or, deux de ces équations linéaires qui expriment ^'-[(ç), 2r^(p), ^l(v)^ 2r^(^') linéairement en $05 ^t peuvent être résolues par rapport à <ï>o, $1 ; car autrement il faudrait que les carrés des fonctions S correspondantes fussent dans ua rapport constant, ce qui est impossible, puisque ces fonctions n'ont pas les mêmes zéros. En portant les valeurs trouvées pour $„, <I>i dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on voit que les carrés de deux quelconques des fonctions 2» doivent pouvoir s'exprimer linéairement au moyen des carrés des deux autres fonctions 2». On doit donc avoir des relations telles que
où A, A', B, B' sont des constantes que l'on déterminera en
faisant successivement v^=o. p^ -; on obtiendra ainsi, en
tenant compte des formules (XXXIVg, XXXVIl,o),
, ^H ^ / Sr|(o)
On a donc
(LVIi)
l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En posant, dans la dernière relation, p = i et faisant usage des formules (XXXIV /,), on trouve
S|(o) = A-2r|(o) + A'2rf(o), et l'on obtient ainsi une seconde démonstration des égalités
A-2+/v'2= I, 2rJ(o)-=2r2'(o)-t-&Uo)-
Au surplus, les relations si simples que nous venons de déduire du théorème de M. Hermite ne diffèrent pas, au fond, des relations
ainsi qu'il résulte des formules de passage des fonctions a" aux fonctions 3.
Observons aussi qu'en faisant visage des relations (LVI)), on transforme aisément l'une dans l'autre les trois expressions données au n° 260 pour chacune des fonctions ^[nv\ n-) au moyen des fonctions ^[v \x).
279. Nous avons dit plus haut que les carrés des fonctions h s'expriment linéairement au mojen des fonctions
<ï>i(a) = q^ e2''TO2r3(2f -f-Tla-c) = 3r2(2f |2x).
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les coefficients et de parvenir par cette nouvelle voie aux formules (XLVJI3) qui expriment ^^['2,v\i'z), ^2(2^12') au moyen des carrés des fonctions 3 {v).
Par le même procédé on reconnaîtra encore que les quatre
fonctions
où c est une constante, sont des fonctions linéaires des carrés de deux quelconques des fonctions 2r(ç^). Les constantes se détermineront comme tout à l'heure et l'on obtiendra ainsi des formules qui ne diffèrent pas, au fond, des relations (XV(3) entre les fonctions d. Parmi ces formules, nous nous contenterons
LES FONCTIONS S". l59
d'écrire les suivantes :
280. Il convient de joindre à ces relations des relations analogues, mais où figurent des fonctions 2r avec des indices différents. On pourra les obtenir par une voie analogue, si l'on observe que l'analyse du n"' 274 permet de trouver les fonctions transcendantes entières les plus générales qui satisfont aux équations fonctionnelles
où les symboles s, e' désignent soit + i, soit — i. Dans chacun des quatre cas possibles, comme dans le cas £ = i, £'=i, les fonctions cherchées se composent linéairement avec h fonctions transcendantes entières parfaitement déterminées. Cette remarque suffit, pour le problème qui nous occupe, à prouver l'existence de relations de la forme
&x(^-^c)^(x(^'-c) = A2rx(p)2rj,(P) + B3rv(i')2rp(t^),
où X, [JL, V, p sont les nombres i, 2, 3, 4, rangés dans un certain ordre, et où A, B, A', B' sont des quantités indépendantes de p,
qu'on détermine en supposant v=:o, -, -• Le lecteur pourra
appliquer cette méthode, ou encore déduire les résultats des formules (XV4) et (XV5) en passant des a* au S; nous nous contenterons de transcrire les résultats.
= -3rj(c)27.2(c)3ri(^-) 3^2(0 + 2r3(c)&4(c)3r3(,;)2r,(p).
l60 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
' 2r2(o)&4(o)Sr2(p -t- c)3r4(p — c)
= -?j,{c)%{c)^r{i')%iv)+?J,ic)%ic)%{v)^U^)-
281. Au reste, toutes ces relations, que nous avons tenu à écrire, à cause de l'usage qu'on peut avoir à en faire, sont des cas particuliers d'une identité générale, de même que les relations équivalentes entre les fonctions <i (XVi 5) sont des conséquences de l'identité ( VII2), établie au n° 96. Pour déduire de cette identité l'identité correspondante entre les fonctions .^, il suffira de remplacer la fonction g" par son expression au moyen de la fonction 2r, et de remarquer que l'on a
( K + a ) 2 + ( « — a ) 2 -t- ( 6 -H c ) 2 + ( 6 — c ) 2 = (m + 6)'''-+- (fi — 6)2 -4- (c -4- a)2 H- (c — a)2
= (m-H C)2-f- (i< — c)2 + (a-f- 6)2-t-(a — 6)2= 2(m2-1-ct2+62|c2).
On obtiendra ainsi la relation
/ 2ri((^ + a)2?i(<' — a)2ri(6-t-c) Sri(6 — c) (LVII2) ! -f-2ri(p + 6)2?i(t^ — 6)2ri(c-i-a)2ri(c — a)
( -i-2ri(p -h c) 3"i((^ — c) 2ri(«-4- 6)2ri(a — 6) = 0,
où il est à peine utile de prévenir que les quantités a, b, c représentent celles que l'on désignait de cette façon dans le n° 96, divisées par atOj.
De cette identité, on en déduit plusieurs autres analogues, soit en augmentant l'une ou l'autre des quantités u, et, b, c de
-) -j j ou en attribuant quelque valeur particulière à ces
variables. Nous ne voulons pas ici faire cette étude, que l'on trouvera tout au long dans la Théorie des fonctions elliptiques
LES FONCTIONS &. l6l
de Briot et Bouquet ('); nous nous bornerons aux remarques suivantes, tirées, pour la plupart, d'un beau Mémoire de Kronecker sur le même sujet (-).
Remplaçons les lettres v, ii, b, c par a, b, c, d et posons en général pour p ^ i , 2, 3, 4,
(LVII,) j Tp = 3rp(a-^c)2rp(a — c)2rp(c?+è)&p(c?-6), ( Tp = Sp(a + d)^ç{a - d) ^r^{b + c) 2rp(è - c),
où les trois expressions T, T', T" se déduisent les unes des autres par permutation circulaire des lettres b, c, d. L'identité fondamentale (LVII2) pourra s'écrire
Observons que, par les vingt-quatre permutations des lettres a, b, c, d, les quantités Tp, Tl, TL se reproduisent, rangées dans un ordre quelconque, si p n'est pas égal à i, et que les quantités T,, T, , T^ sont remplacées par une de leurs permutations circulaires ou par une des permutations circulaires des quantités — T,,
On voit, en particulier, que l'identité fondamentale
Ti+T'i + T'i = o
se reproduit pour toutes les permutations des quatre lettres a, b, c, d.
Si maintenant on ajoute aux quantités a, c, successivement
> , -, on trouve
l T2-T',-T'^=o, (LVII3) . 5 Ta-i-T'i-T'^
( T,— T\ — Ti = o.
Sans nous arrêter aux équations que l'on peut déduire de celles-là par les permutations des lettres a, b, c, d, observons qu'on en
C) Deuxième édition, liv. VII, p. 486 et suiv. {') Journal de Crelle, t. 102, p. 260. T. et M. -IL
l62 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
lire, en ajoutant
