LVII
283. Ces identités ont été données par Jacobi sous uae forme à peine différente. Considérons," par exemple, la relation
Si l'on pose
a + è^w, a — b = X, c-{-d = y, c — d = z, on voit de suite que cette identité peut s'écrire
^%i^')%{x')?!,{y)%(z')-^?!,(»'')%(x')?!,iy)%(z'),
en regardant les variables x, y, 3, w, a;', y', z', iv' comme liées «ntre elles par les systèmes équivalents d'équations
w' = - (w -\- X ^y -h z), w = - (w'-h x' -hy' -i- z'),
y = -(iv — x+y — z), y = -^{w'—x'-hy'—z'),
z' = -(iv — X ~y -\- z), z = -{w' — x' — y'-{-z').
'284. C'est d'ailleurs par une voie tout autre que Jacobi par- •vienl à cette identité : cette voie est directe; elle consiste à effectuer la multiplication des séries qui représentent 2^2 (w), 'hi(yx\ ^^(^y)^ 2r2(^), 2^3 (w), • . • . Outre son intérêt propre, elle offre un grand intérêt théorique; elle équivaut, en effet, à nn' principe dans la théorie qui nous occupe. Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que de cette identité et de celle qu'on en déduit en ajou-
lan.t à une ou plusieurs des variables i , x, 1 +t, -> -> - — ^, on
LES FONCTIONS S". l63
peut tirer très facilement les relations entre les carrés des fonctions 2r, ou entre les produits de deux fonctions 2î avec les arguments X -\- y-t X — y, qui ont été obtenues dans ce paragraphe au moyen du théorème de M. Hermite; en sorte que l'identité de Jacobi peut, comme l'auteur l'a montré lui-même ('), servir de fondement à une théorie des fonctions elliptiques. Kronecker, dans le Mémoire précédemment cité, a amené l'analyse de Jacobi à un haut degré d'élégance et de généralité, nous ne la reproduirons cependant pas. Nous donnerons de préférence, pour initier le lecteur à ce genre de spéculations, la démonstration d'une belle formule qu'on doit à Schrôter, formule dont un cas particulier nous conduira facilement à l'identité de Jacobi et dont nous aurons d'ailleurs à tirer parti plus tard, pour la formation des équations modulaires. La formule de Schrôter pourrait être établie autrement que nous n'allons faire (^); le théorème de M. Hermite, qui a fait le premier objet de ce paragraphe, offrirait, en particulier, un chemin pour y parvenir.
285. Désignons par a, ^ des nombres entiers positifs et envisageons le produit des deux fonctions 2^3 (^|ax), ^^{^y\ ^t).
En se reportant à l'expression (XXXII3) de ^^{^v\'z)^ on voit que ce produit peut être mis sous la forme
&3(a7 1 ax) "^^iy \ ^x) = V ^a!A'+pV^e2m([Jia:+vj')^
OÙ le second membre est une série à double entrée, absolument convergente, dont les termes peuvent être groupés comme l'on
( ' ) Théorie der elliptischen Functionen, aus den Eigenschaften der Thêtafunctionen abgeleitet {Œuvres, t. I, p. 499)-
(») M. Herstowski {Math. Annalen, t. XI, p. 1-29) parvient à cette formule, ainsi qu'à d'autres relations que nous rencontrerons plus tard, en effectuant la multiplication des produits infinis qui représentent les fonctions Sr.
Sauf quelques modifications sans importance, nous reproduisons ici (n°' 285-286) l'analyse de Schrôter d'après Enneper {Elliptische Functionen : Théorie und Geschichte, 2' édit.). Puisque nous avons l'occasion de citer cet Ouvrage, excellent à bien des égards, il convient de signaler au lecteur, en particulier, la richesse des renseignements historiques et bibliographiques qu'il pourra y puiser.
veut. Nous supposerons d'abord qu'on effectue la somme on aura ensuite à effectuer la somme ^ A^.
\t.— — ao
Il est clair que, [jl restant fixe, lorsque v prend toutes les valeurs entières de — oo à -j- ao, il en est de même de v — [i. et inversement. On peut donc remplacer, dans l'expression de A,j,j V par p. H- p, et faire prendre à p, comme à v, toutes les valeurs entières de — go à + oo. D'un autre côté, si l'on désigne par s un nombre entier quelconque, et par r un des nombres o, i, 2, ..., a 4- j3 — 1 , il est clair qu'un nombre entier p peut, et d'une seule façon, être mis sous la forme
Réciproquement, quand on donne à s toutes les valeurs entières de — co à 4- GO, et à r toutes les valeurs o, i, 2, ..., a+^ — i, l'expression (a + ^)s + r représente successivement, et chacun une fois seulement, les différents nombres entiers de — go à + 00. On peut donc, finalement, remplacer, dans A^^, l'indice v par
[JH- ( a -4- P ) s 4- /■,
et donner ensuite à s les valeurs entières de — 00 à +00; à r les valeurs entières de o à a + ^ — i .
Par cette substitution, on trouve, après des réductions immédiates,
jjt^j v7 ={\i.-h ps)(a7-i-7)4-s(aj' — pa7) + /-j.
Si donc, dans Ajj., on groupe les termes où r est le même, et si l'on remarque que dans tous ces termes on peut mettre en facteur ^P''' et e2i7rra^ QQ yqJ^ qyg Pqjj peut écrire
j,= 2 g^'-^e^rinyB^,,
LES FONCTIONS S". l65
OÙ l'on a posé, pour abréger,
S=:—ce
C^s étant le produit de
q{a+^){\l^^s]^+i^r{\J.+^s)+!X^{!X-h^)s^Z%^rs
par
giiTzU\i+^s)(.x+y)+s{0Ly—^x)]^
Le produit des deux fonctions 2^3(^1 aT), 2r3(y| ^t) peut donc être mis sous la forme
où
JA=: — 00 [1 = — oo 5 — — 00 5 = — oo (Jl = — oo
Séparons, dans l'expression de C^^^^, les facteurs qui ne dépendent que de [x + ^s et ceux qui dépendent de 5 seul; nous aurons
— . (3(a+P) (|X4-Pi)«g2/7t([JL+ps) ix+y+r^x) gCi.^{oi.+^)s'Qiiiis{oLy—^x+r!xpz},
En tenant compte de cette dernière forme pour évaluer
{X=+oo
\] Gjj,5 et en observant que, s restant fixe et [x prenant toutes
les valeurs entières de — oo à +co, s'= a + ^5 prend aussi toutes les valeurs entières de — oo à h-oo, on voit que la somme X ^\i,s
est le produit de par
lx=- =
S'——ee
or cette dernière somme n'est autre chose que
l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on a donc,
[A =+00 S=+» [Jl=+ =
[A=— 00 S=—oo lL——ct
= 2r3[a7-i-jK4-rpT|(a-+-S3)T]x V ^^p(a+p):f'e2fTO(ar-pj:+rapT)
5=-oo
et, par suite, enfin
(LVIIIi) { x2r3[ajK— P^+rapTlaP(a + P)T]
X 2r3[pa? — ay-+- rtx'^T | a^ (a + P)t),
la dernière égalité ayant lieu en vertu de ce que le premier membre ne change pas quand on change a en (i et a; enjK, simultanément. C'est la formule annoncée.
286. Pour a = I , (3=1, l'égalité précédente, en tenant compte des formules (XXXIVo), devient
(LVIII ) I ^3(iP)&3(r) = ^3(a?-H7|2T)3r3(a:-;Kl2'c)
En changeant dans cette formule x, y en £c -h -y y-\ — > on obtient encore
(LVIII3) ! 2r2(^)2r2(7) = 2r2(^+j|2T)&3(^-rh^-^)
Observons en passant que, en faisant a; =y, on retrouve deux des formules relatives à la transformation de Landen.
Ce sont les formules (LVIIl2 3) qui vont nous conduire à l'identité de Jacobi. Si l'on désigne par ûc, y, z, w quatre variables indépendantes, on en déduit, en appliquant ces formules d'une
part aux variables x, y, d'autre part aux variables 5, çv, et en formant la fonction
que cette fonction s'exprime très simplement au mojen des quatre quantités
'^zix -\-y\i'z)'^z{z-\- w\ix)-^?!i{x -\-y\iz)'^2{z-hw\->.x), ^3(^— J'|2x)2r3(z — «)|2x)-i- '^i{x — y \ix)'^i{z — w \iz),
^3(3^ — JKhx)3r2(^ — (v| ix) + ?!i{x—y\ix)?:z{z — w\iz).
Après une transformation algébrique facile, on voit qu'elle est égale au produit des deux premières augmenté du produit des deux dernières. Mais, en vertu des équations (LVIIIo-a) ellesmêmes, les quatre quantités que nous venons d'écrire sont respectivement égales à
ç^ / Sf- X -hy -^ z -^ w\ ^ I — X ->r y -^ z — w\ ^\ -. F\ ï j'
& /+^+J~'~'^ + ^\ ^ /— 37+JK+ Z—W\
On obtient donc bien ainsi l'identité de Jacobi.
l68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
