CHAPITRE IV

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS a- ET DES FONCTIONS &.

287. Il convient souvent, dans diverses questions, d'introduire les quotients que l'on peut former au moyen de deux fonctions d portant sur la même variable et les mêmes périodes; les quatre fonctions cs'w, rf, w, <3'2M, c'a m engendrent ainsi douze fonctions. Nous poserons, en conservant les mêmes conventions qu'au n° 112 relatives aux indices a, [S, y,

(LIXi) { 5oa"-

<^a« \/-pu — «a c'a M \Jpu — e^

v/pM —

Nous sous-entendrons la variable u quand il n'y aura aucune ambiguïté à craindre; ainsi nous écrirons ^aoj ^oa^ Ipy au lieu de iao") ioa^î ipyW- Au contraire, quand il y aura lieu de rappeler les nombres Wj, 0)3 qui servent à construire les fonctions d et, par suite, les fonctions ^, nous écrirons

^ao(i<l ^1,103), ^oa("l wi, W3), ^py(M|wi, W3), OU bien

?ao(";^2,^3), ^oa(";ir2,^3), $py(«;^2,^3),

si c'est sur les invariants g^-, g^ qu'on veut attirer l'attention. 288. Les fonctions Ç sont des fonctions univoques de u ; celles

qui ne contiennent pas d'indice o sont paires, les autres sont impaires. Elles n'admettent pas d'autres singularités que des pôles, tous simples; ces pôles sont les nombres congrus à o, modulis ato, , 2(1)3, si le second indice est o, à w^ si le second indice est a. Les zéros de ces fonctions sont congrus à o ou à co^, selon que le premier indice est o ou a; ce sont tous des zéros simples.

D'après leur définition, les fonctions ^ sont des fonctions algébriques de la seule fonction pw, elles sont donc toutes des fonctions algébriques de l'une quelconque d'entre elles, tandis que leurs carrés sont des fonctions rationnelles du carré de l'une quelconque d'entre elles. D'ailleurs les relations algébriques qui les lient sont manifestes; il suffit de les écrire

if \ t I t ^PO ^?3« !■ >• f t

(2) §ao=t— » ^pY= >- = ï— =çpo?oy=;3aÇaY,

çoa çyo Çya

(3) pM = e3t-)-&|(,= ep+^2 ^g^^ï2^^

d'où