II. — Relations entre les fonctions j et les fonctions 2r

160. Les développements des fonctions du, es*, «, d-xii, d^u auxquels nous venons de parvenir nous amènent à introduire quatre nouvelles fonctions de la variable c = Nous poserons (M

On reconnaît directement, sur la forme même des séries qui figurent dans les seconds membres, que ces séries, regardées comme

(') Les notations relatives aux fonctions Sr sont celles que Jacobi a inti'oduites pour la première fois dans un cours professé en i835-i836 à l'Université de Kœnigsberg et qu'il a ensuite employées plutôt que celles des Fundamenta dont nous parlerons plus loin. 11 ne met toutefois pas d'indice là où nous mettons l'indice 4 et il écrit Sr^(('T:) là où nous écrivons Sr^(t') (Werke, t. I, p. 5oj). M. Weier-

LES FONCTIONS ^. l5

dépendant de la variable v, sont absolument et uniformément convergentes dans toute région limitée du plan oii l'on figure cette variable. En effet, un raisonnement tout semblable à celui de la fin du n° lo8 montre que la série qui définit la fonction ^^{v) de la variable v est absolument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de v qui vérifient les conditions

OÙ A est un nombre positif fixe quelconque, et l'on reconnaît

strass, M. Schwarz, Halphen mettent l'indice o là où nous mettons l'indice 4; 'a variable est la même que dans notre texte. M. Hermite a employé la notation condensée

OÙ a, p sont des entiers quelconques; les fonctions 6,,, 6,„, O^^,, ô„, de M. Hermite sont donc nos fonctions rS;,, S?^, Sr^, Sr^. On a d'ailleurs

p, q étant des entiers quelconques. Cette dernière formule, à elle seule, contient les vingt-quatre formules (X\XIV,,) que nous écrivons plus loin explicitement; on voit assez, par ce seul exemple, les avantages que cette notation peut présenter dans

bien des cas. Ajoutons que les zéros de 9a,?(^) sont congrus à i x,

modulis I, T.

Les notations de Briot et Bouquet ( Théorie des fonctions elliptiques ) se rattachent à celles que nous avons adoptées en posant

W = 20),, to'— 2(«)j, X^^tiiV,

6,(0.) = =;,(.) = 2Y/"^'^^cos^^^-'^"",

e^(ar) = 2r,(v) = i-h 2 ^ q'i

^{x)-'Ss^{v) — 1+ 1 y (— l)"Ç"'C0S^^

"în-Kx cos >

immédiatement que ces conditions reviennent à dire que, dans p, le coefficient de i doit être moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, d'ailleurs arbitraire. On pourrait faire le même raisonnement sur les autres séries, mais la façon dont on passe de l'une aux autres permet de s'en dispenser. Ainsi les fonctions ^ sont des fonctions transcendantes entières en <', et les séries qui les définissent peuvent être difFérentiées, terme à terme, par rapport à v. On reconnaît de même que ces séries peuvent être différentiées, terme à terme, par rapport à q ou par rapport à T.

16J . En groupant ensemble les termes pour lesquels les exposants de e sont égaux et de signes contraires, et en tenant compte des formules d'Euler (n° 66), on peut écrire

/ n = oo / M '

(r) !3'i(t')=:\( — ly^iq sin(2/H- O-irt»,