XXX] I
(3) 2r3((^) = i-i- \ 2^"' cosa/zTTP,
(4) '^,^{v)= I 4- \ ( — i)"2q"^ cosimiç,
ou encore d'une façon plus explicite
2ri(p) = 2 g'* sin TTC — 2^'* sin 3tp H- 2^ * sinSTiP — ...,
2r2(p) = 2 g''* cos-rrp -+- Q.g'* cos3-p -+- 2^ * cosottp +. . . ,
2r3(p) = I-t-2g C0S2TC(^ -t- 27* COS iTTt' + iq^ C0s6lT(' -+-...,
^!^(i>) = i — 2q cos2 7rP' -i-iq'* cos^Tzv — 9^q^ cosGtk' -+■....
Quand on voudra mettre en évidence, soit le rapport ■: ^— — > à
l'aide duquel les qualre fonctions .3» sont formées, soit le nombre q = e'r^', on écrira
^i(v\^),, %ii>\^), 2r3(>lT), %{i'\z),
OU
à la place de
Avec ces notations, les résultats du n° 159 peuvent être mis sous la forme suivante
(0 — ag5'*"a'M = e2'iiWi*''2ri(ç>),
(XXXIII) j (2) 2gro5rf^^a'iM=:e2^.".'''2r2(«;),
1(3) qoq\^..u = e'^-^^<^i-'%{v\
' (4) g'og'|a'3tt = e2r).a,...2r,(p).
162. Les formules (XXXIIÏ,ji) peuvent s'écrire sous diverses formes, avec lesquelles il convient de se familiariser.
La première montre que 3| {v) s'annule pour u = o. En prenant les dérivées des deux membres par rapport à u, en supposant « = o et en se rappelant que l'on a d'o = i, on trouve
Divisons l'égalité (i), membre à membre, par celle que nous venons d'obtenir; divisons de même chacune des égalités (2), (3), (4), membre à membre, par celle qu'on en déduit en y faisant M = o ; on trouvera
(5) ^«==.co,^^
(6) o'au^^^i^re^i.'-"" (a = 1,2, 3).
En prenant les dérivées logarithmiques par rapport à u des deux membres des relations précédentes, il vient aussi
/»\ r „ '^>" ^ Sra-n(p)
Wi 2Wi ^0L+l{v)
T. et M. - II. 2
et l'on peut mettre ces dernières relations, en tenant compte de celles qui précèdent, sous la forme
^'u = '^^u +|ii^e'-^.to..^
c'oi,u= c'a M H
g2YliW,f'.
2Wi ;îa+i(o) Si l'on se reporte aux formules (XXXl3/,) qui donnent les
expressions de \e.2 — Cg, . . . , au moyen de q\ Ço, . . ., on voit qu'on peut encore écrire
(9) \/'^V{) o-i. =ie2-o.a)..'^j(^)^
(10) i/^^ v^e.2 — es tf, u = ie'--nr^i"'-%(v),
(12) l/^ l/ey — 62 ^^u = e2n,«,p=^^((,).
En remplaçant dans les formules (XXXni,r,) du, a", «, Ct^u, d^u par leurs développements en produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable V. on trouve enfin
(5) S'i(p)= agro^* «inç'- I I (i — iq^"- co?,ivv: -\- q''"-)^
(6) ?!i{v)= 2qoq^ cosv- t î (i -h- ■2q'^"' cosivr: -h q'*'^),
