LX

= — \/ep — ea v/«r — ^a $oa «,

Çpy(M+ Wa)= g.ypM=— ^ypM,

|py(w + wp) = — /ep— ea^oa"-

Ces formules montrent que les fonctions ^ sont doublement périodiques. La fonction ^iqU, par exemple^ admet les périodes 2 to, , 4 f»^3 1 et il est clair, d'après la nature des pôles qui sont tous congrus à zéro, modulis 20),, 20)3, et parce que 20)3 n'est manifestement pas une période, que ces périodes sont primitives. Les carrés des fonctions ^ sont doublement périodiques et admettent tous 2 10,, 20)3 comme couple de périodes primitives.

290. Il est facile d'obtenir les équations différentielles que vérifient les fonctions i, puisque l'on a l'équation qui relie pu à p'u.

Observons d'abord que l'équation (XI3)

, tfi M tfî M s'a u

^ a'M du <^u

peut s'écrire maintenant

p'u= — a^aolpo^yo = — 2 /p Ji - Ca /p M — ep /p u — gy.

Dès lors les relations

„ /- u i ^ \/pu — es

$ao=/P"-«a, ^oa= . =? ÇpY= -y--:=^

donnent immédiatement

(LXIi) $^0 = — ■' = — /pM — e^ V'pa — ey = — $po$yo,

2/pM — ea

nxj\ t' IZ'P'if y/p « — ep /p M - gy

I^Pr-

2/pa — ea(P" — ea) pM — e^

/ivr ^ ' a/pM— ep/pM — ey(pa-ey)

{ = ^^T^J-^ =-{e^-e,)^oy^ar

En remplaçant dans la première de ces égalités Ipo» ^yo P^^ leurs valeurs (LIX3) en fonction de Çao» on obtient

(LXIIi) Qq= (ea— ep+^o)(ea— ey+^âo))

c'est-à-dire que la fonction ^-to vérifie l'équation différentielle

(^y=(eo,-e^-i-y-)(eo,-er + jr^y,

elle peut donc être définie comme une fonction univoque de u satisfaisant à cette équation différentielle et telle que la différence

y soit régulière aux environs du point o, et s'annule en ce

point.

Il est clair que, si une fonction f{u) satisfait à une pareille équation différentielle, oiî la variable u ne figure pas explicitement, il en sera de même de la fonction f{u-\- C), où G est une constante arbitraire; les fonctions ^ao ( w + Wa) , Çao(w4-wp)) iao(w + Wy), en particulier, devront vérifier cette équation différentielle, ainsi que les fonctions

qui leur sont respectivement égales ; on en conclut, ou l'on obtient directement par un calcul analogue au précédent, les équations

(•2) ^oa=[' + (ea-ep)$o'a][l+(ea-ey)$2^],