Remarquons encore les formules, d'un usage fréquent
dans le Calcul intégral, qui lient les fonctions ^ aux fonctions ^, savoir :
(LXIII) d'où
(2) — ÇaM = p(M + coa) = ea+ — ^^— — ; »
pu — e(x
, (3) — Ca« — ea=(ep— ea)(ey— ea)^o^a(")4 (4) — ÇpM— <?a=(ep— ea)?yp(M);
et
(LXIIIg) '
aYTTr^] (ep — ey)v/pM — ea , Nt / \S / \
v/pM — ep/P" — ^y . CfrtU (S'a
= — (es — ev) •
^ P ''^o'pwa'yM
292. Les deux dernières relations peuvent s'écrire sous une forme un peu différente, qu'il ne sera peut-être pas inutile de faire connaître.
Reportons-nous aux formules (XXXIJIj.e)
on en déduit, en prenant les dérivées logarithmiques,
^a = — -s^r -1-2TI1P, CjnM = ^ -— -+- 2.-T\,v:
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS rf ET DES FONCTIONS 3^. 178
dès lors les formules (LXIflg.e) peuvent s'écrire
__L r^W^^) ^«4-1(^)1 ^ 2rot+i(o)S-;(o)3rp^i(t^)Sry^i(p)
2(0iL^r+i(^) Sp+U'^)]"^^ ^^ &a+i(o)&',(o)2rp+i((^)Vi(^) ' en utilisant les relations (XXXVl4 5) écrites sous la forme
2r'i (o) = irSTa+i (o) 2rp+i (o) Sr^+i (o), on trouve, après quelques réductions immédiates,
i(8) Sr^+,(^'pp+,(p)-2r^+,(ç>)2i^^^(i>) = 7r^|^j(o)2ri(t^)2r«+,(p). C'est là les formules que nous avions en vue.
293. Les formules (XV) nous montrent immédiatement que les fonctions ^ de u -^ a peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des fonctions ^ de u et de a. Il suffit pour avoir les formules qui fournissent ces expressions de diviser membre à membre deux des formules (XV) choisies de façon que dans les premiers membres figure un facteur commun. Ces expressions pourront d'ailleurs être transformées de diverses façons, grâce aux relations qui existent entre les fonctions ^.
Si, par exemple, nous choisissons, d'une part, les équations (XV4 5) mises sous la forme
(f{u-{-a)(fy(u — a)
= 0*1 « tf^ a [^oy " ?aY« ^^y « + $oy« $ay « ^^y "]>
= (3'*aa'2a[$PYaÇpYa — (ep— ey)^oyM^ayM|oy«^ay«]r
et, d'autre part, l'équation (XV2) mise sous la forme
c'y (a ■+■ a) <^y(u — a) = a'^u cf^a [1 — (ey — ea)(ey — ep) ^Lu^La],
on trouvera, en divisant respectivement, membre à membre, les
deux premières équations par la troisième,
(LXIVO ?„,(« + a) = ,(e,-e,)(e,-ep)eo\«e„\-'
(LXIV3) apy(a + a)- .(ey-ea)(.y-.p)$o\"?ly«
Les formules ont été disposées de manière que le second indice des fonctions qui y figurent soit toujours y-
294. On aurait pu utiliser aussi la formule (XV, ) <f (u -h a) a' {u — a) — (y^ M tf-^a (^2 „ — ^L^)'
qui, jointe à la première des équations dont nous nous sommes servis, aurait fourni la relation
/TYTV^ ï ^» ^^ ^oy« ^gy« Ipy^^ + ^oj^ ^gy« gpy'^ .
Çoy "• soy"'
en changeant dans cette formule a en — a et comparant à l'expression déjà obtenue pour ^(,j{u + a)^ on en conclut l'identité
(^oyî<$gy«?Py«-H^oy«^gy"^py")(?oyM|gy«|pya— $Oy«$gy«|py") = doy" — ^oy«) [• — («y— eg)(er— ^P)^oy"$oy«]>
que le lecteur pourra vérifier au moyen des relations entre les carrés des fonctions ^.
29o. Si, maintenant, dans l'expression (LXIVj ) de ioy(« + «), on change a en — a el qu'on effectue le produit
on trouvera, en vertu de l'identité précédente,
Çoy ^ çoy **
(LXVi) ^oy(«i+ «)^oy(" — <^) = 7- ,, ,., u„ -
Si l'on récrit la même relation en s'arrangeant de façon que l'indice a remplace l'indice y, puis que l'on remplace w par w + wp, on trouvera de suite
(LXV2) $Py(«-)-«)$py(« — «) = -52 ^>
say"
