Examinons maintenant, comme au n° 120, le cas oii les

nombres w,, ~ sont réels et positifs.

Si la variable u est réelle, toutes les fonctions \ sont réelles ; on en connaît le signe d'après les résultats du n" 120 et les formules

?oa = ^pa^va, Ipy = — ( ^p — «y) |oy ^

permettent de reconnaître immédiatement si elles sont croissantes ou décroissantes; comme d'ailleurs on connaît les valeurs qu'elles prennent pour les multiples de w, qui sont les seules valeurs réelles pour lesquelles les dérivées puissent s'annuler ou devenir infinies, on reconnaîtra sans aucune difficulté entre quelles limites les fonctions varient. Par exemple, la fonction ^^3 croît de o à

: quand u croît de o à w, ; la formule (LXTII, ) montre que yei — «3

dans cet intervalle on a

?03 ( « ) = >/\y-^^^— es) ^!z{u)] [i — (ei — 63 ) ^o^sC «)] .

en donnant au radical le sens arithmétique, puisque la dérivée doit être positive; on en conclut qu'on doit avoir

/[i(e,e3)^2j[,__(ej e3)^2]

et, en remplaçant dans cette formule y par < on trouve

v/ei— 63

/-- — — /•* dx

wiy/ei — 63= / — -^>

Jo v^(i — a72)(i — A:2a72)

en donnant à A" la même signification (XXXVII4) qu'au n" 170,

^'"-Z^^^TT^ 2r3(o)'

298. Quand ï« = /m' est purement imaginaire et que u' reste dans l'intervalle (o,^ )> les fonctions paires ^^^[iu') sont réelles

et positives, ainsi que la fonction impaire -^oaC*^^"')' ^^^ expressions des dérivées donnent aisément le sens de la variation; soit, par exemple,

on aura

du'

■-A, = loi(^'"') = |2l(i"')?31 («■"'),

en désignant par l'^^^{iu') ce que devient i'p,^^ quand on j rem-

dz place u par iu'; -.—, est donc positif et z croît de o à

7Ç0lW3= . = ,■ ■'

* isje^—ei \Jei — e^

comme on s'en convainc en se reportant aux formules (LX, , XIII4) . Puisque la dérivée de z est positive, elle est donnée par la formule

= /[i -(ei - e,} z^Hi -(e,-e,)z^],

les radicaux étant pris avec le sens arithmétique, et l'on a par conséquent

^[f — (e,-e.2)z^][i-iei-e3)z^\

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS rf ET DES FONCTIONS ^. I77

OU, en remplaçant ;; par ■.

-^ /ei — «3 ^ / — =

ici encore A"' a le même sens (XXXVII5) qu'au n° 170, savoir :

np^ y/gi — e% Srt(o) ^ ""*/e;zr^ 2^3(0)'

y/ A" el \Jk' sont réels, positifs et plus petits que i. •

Les formules qui donnent, dans ce cas, o),, -^ au moyen de ei,

^2, ^3 doivent naturellement être rapprochées de celles qui ont été obtenues au n° 297.

299. Ajoutons enfin quelques remarques relatives à l'homogénéité, que le lecteur rapprochera de celles qui ont été faites au n° M 9. En reprenant pour un moment les notations de ce numéro, c'est-à-dire en posant

w'i = Xwi, 0)3 = Xa)3,

on trouve de suite, à l'aide des formules (XVIIl2 3),

1(0 ^oa("|wi, w's)^ X^oa (y '^H,^3J, (2) ^ao(w| w'i, co'3) = l^ato (I w,,t03J,

1(3) ?py(u| W'i, W'3)= ^Py^j 0)1, W3J.

Il suit de là que, si l'on désigne par (p une fonction de Wj, (O3 qui soit, comme T,a ou y/e» — ep, homogène par rapport à w,, w, et du degré — i , les fonctions

?$oaf- w,,t03J, Ipyf- w,,W3J

ne dépendront que de l'argument 11 d'une part, du rapport de l'autre; en effet, si l'on pose

to,

Xcp'= Xcp (Xwi. XW3) = Ç (W,, W3),

T. et M. - II.

on aura