Trois de ces fonctions

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dont le rôle a été et restera considérable dans la théorie des fonctions doublement périodiques et dans les applications de cette théorie, ont été introduites tout d'abord par Jacobi, qui les a nommées fonctions elliptiques de V argument u et du module k] il les a désignées, pour des raisons que nous ferons connaître plus tard, par les notations

sin am ( M, Â: ), cosam(a, A:), Aam(a, A:).

C'est l'étude de ces fonctions elliptiques, que nous désignerons (*) par

sn(M, /f), cn(u, X:), dn(«, /:),

qui fera l'objet du paragraphe suivant.

301. Supposant que la partie réelle du rapport -^ soit positive et que, par conséquent, r,4t03 — visw, soit égal a — > nous pose-

rons

i(i) ?,n{u,k)^s/ei—ez^

{'!) cn(«,/c) = ^,3

[ (3) dn(M,^)= ^23

(Ul, Wo 1 ,

0)1, tOsJ.

/ei— 63

^= "Jl) "J3 ,

(' ) La notation sn, en, dn a été proposée par Gudermann. Elle a été adoptée par un grand nombre d'auteurs, en particulier par M. Hermite, avec une légère différence sur laquelle nous insistons plus loin (n" 317).

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O" ET DES FONCTIONS 3r. I79

Quand on ne veut pas mettre k en évidence, on écrit simplement snw, cnu, ànu^ au lieu de sn(^f, A), cn(w, A"), àn(^u,k).

Ces trois fonctions sont homogènes de degré zéro en w,, (03 ; elles ne dépendent donc (n° 299) que de l'argument u et du rapport

T = — . Ce fait si important doit se manifester dans les relations

algébriques et dans les équations différentielles que vérifient les quantités sum, en m, ànu, équations que l'on déduit facilement de celles que vérifie la fonction ^.

302. En désignant par su'm, en' m, An' u les dérivées de snM, cnw, ànu par rapport à u^ et par

Ços

/ei-

\/ei — es

\/ei-

ce que deviennent les dérivées ^'o^u, ^^m, ^23^^ de ^03^, ^13 m,

^23 M quand on y remplace u par ■. et en tenant compte

des relations

on trouve immédiatement

(r) sn'u= ^'03 (-7—^ ) = ^13 (-7=^^=) Us ( -7=^=] =caudnu,

(2) en' a = —

/ei —

= — y/^i— es^c

(3) dn'M= —

s/ex — 63

Ci — 63

v/^i — ^3 Vv^ei — 63/ """^y/e,— 63 D'ailleurs deux des relations (LIXc), savoir

"^ ei— es 62—63'

= — su M du M,

= — Ar^sn « en i

l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

donnent immédiatement

on a donc

i (i) sn^u -+- en- u — i, (LXIX) \ '

^ ' I (2) dn2M-|-/-2sn2w, = 1,

et l'on voit, à cause de ces relations et de l'expression de la dérivée de snM, que sum vérifie l'équation différentielle

(LXXi) sn'2w = (i — sn2M)(i — A:2sn2M).

On voit aussi que en m, dna vérifient les équations différentielles

(2) cn'2a = (i — cn2M)(i — A-2 4- A-2cn2«),