LXX

I (3) dn'2a = (i— dn2«)(dn2a — n-A:2)

Dans toutes ces relations ne figure que l'argument 11 et la quantité k qui ne dépend que de t, comme on le voit sur la formule (XXXVII^).

Nous entendrons toujours par module et module complémentaire des fonctions elliptiques sn(M, A"), en (m, A), dn(M,A') les quantités k et k' .

303. Si l'on lient compte des relations (LIX,) t „ ï j „ v^P " — gi t „ /p « - gg

Ç03«— , > Çl3^ = , > Ç23 ^ — , >

V/pW — 63 V/P"— «3 VP"— «3

on voit que les fonctions elliptiques sn, en, dn sont liées à la fonction jd par les relations

(4) %Vii^u\Jex—ez,k)= ' -~ , s/pu — e^

(LXVII) W5) cn(Mv/e,-e3,/0=-^7^i^^^'

s/ pu — 63

(6) dn ( tt y/ei — es, A:) = ^^-^^ ^ .

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O" BT DES FONCTIONS 3r. l8l

Les fonctions

sn^{ui/ei— es), cn*(M /ei — 63), dn*{u\^ei— 63)

sont donc des fonctions rationnelles et linéaires de la fonction pu, et l'on a en particulier

«1 — es

(LXVJI7) pu = 63-^