En vertu de la définition même des fonctions snw, en m
dnw, on a
sno = o, cno = I, dno = i, et par suite
sn'o = i, cn'o =^ o, dn'o -- o.
On peut donc définir sn(w, ^) comme une fonction univoque de u qui s'annule pour u^o, dont la dérivée pour u = o est positive et qui vérifie l'équation différentielle
On verra plus tard que, réciproquement, quand on se donne k, il existe une fonction univoque sn(M,A') vérifiant cette équation différentielle et satisfaisant aux conditions précédentes; puis des
quantités cl)<, (O3 dont le rapport seul t= — est déterminé, le
coefficient de i dans ce rapport étant positif, telles enfin que, en construisant avec ces quantités les fonctions es', i, la fonction sn(u, k) définie par l'équation différentielle soit précisément celle que définit de son côté l'équation
/ei — «3
305. On connaît les valeurs de ^03 ^^, ^\3U, ^03 w pour M = to,, u = (O2, M := W3 et l'on sait ce que deviennent ces fonctions quand on augmente u de Wi, (02, W3. Il est donc aisé d'avoir les valeurs des fonctions snw, cnw, dau, pour les valeurs de u égales à
*»>iV^< — ^35 "2V/^t — ^35 <»i3v/^) — 63 et ce qu'elles deviennent quand on augmente u de l'une ou de l'autre de ces quantités.
l8;2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Il convient, pour nous rapprocher encore des notations de Jacobi, de poser
(LXXI) j^'^ oW«T=^ = K,
on en conclut, à cause des formules (XXXVT/, ),
(LXXI) I (3) K=^Sri^olT),
j (4) K'=-^-^^lio\'z),
de sorte que l'on peut envisager K et K' comme étant des fonctions de t; on voit d'ailleurs, sur ces formules, que la partie réelle
du rapport ^^ =: -. est toujours positive et que l'on a
(LXXI5) g==e ''^.
Nous n'emploierons pas de notation spéciale pour
W2 y/ei— 63 = — ( K -{- iK').
Observons de suite qne, si w, et -^ sont réels et positifs, on a
dx
en donnant aux radicaux le sens arithmétique.
306. Avant d'écrire le Tableau qui donne les valeurs de sn m, cnw, ànii pour les valeurs K, t'K.', K-l-iK.', ou les formes que prennent ces fonctions quand on y remplace u par m + K? u -H iK', w + K + i¥J, w H- 2 K, m + 2 «K', «^ + 2 K + a iK', remarquons que les fonctions snw, en a, ànu peuvent être définies au moyen des fonctions 2»; il suffit, pour cela, de se reporter aux formules (KXXIIIs.c),
qui donnent immédiatement
lit = atoi/e, — «3 5-7
/ 2r4(o) * \ioii\/ei—e3
S'.Coj
dn
aoj, v/ei
atoiv^ej— «3
2 0)1 y/ei — 63
2 0Jlv/ei— «3
OU, en se reportant aux formules (XXXVI3, XXXVII, LXXI,3),
