LXXI

(6) snu

(7) cnM =

.Ma)

(8) dnu^ \/k

307. Ces formules mettent en évidence ce fait que les pôles des fonctions snw, cn?^, dnw, qui sont tous simples, sont les zéros de

la fonction S-, ( — ^^ j> c'est-à-dire les points

u = iK'-+- imK -;- îniK' ,

m, n étant des nombres entiers; on voit de même que les zéros de snw, en m, Anu sont respectivement congrus aux nombres o, K, K -h iYJ {modulis 2K, ii¥J). Elles sont d'ailleurs aussi propres que les premières définitions à fournir le Tableau de formules que nous avions en vue, et qui résultent alors des formules (XXXIV);

on parvient ainsi aux résultats suivants :

isn(— a, k) = — sn{u, k), cn{- u,k)= cn(u,k), dn( — u, k) = dn(u, k).

i sn(w-t-2K)= — snM,

(LXXIIj) ' cn(M-i-2K) = — cnK,

( dn (m -4- 2K) - dn u.

isn{u -h 7.iK') = snu, en (a -f- 2tK') = — en M, dn (m -f- liK') = — dnu.

l sn (m -1- 2K -+- 21K') — — snu,

(LXXIf.,) < en (m -H 2K H- 2tK') — en a,

( dn (a -f- 2K -J- 2îK'} — — dnw.

sn(a -1- K) = -j )

du a

snu

(LXXII5) / cn{u-i-K)= — k' ^,

dn(u M- K) = k' ~, — • ( dnM

1 sn (a -+- îK') = -7 j

l A- snM

(LXXII,;) < cn(M-t-iK') = — 7 -— ,

^ \ k sn u

I 1 / -T^, .en M

( dn(M-i-tK) = — i •

\ sn M

I dna

sn(M + K-4-iK)= -, j

A- en w .

(LXXII7) / cn(tt + K-4-tK')= — i-r

A en H

d n ( Jt + K -r- t K' ) = ik'

snu en M

Il résulte de là qvie sn^^, cnii, dnu sont des fonctions doublement périodiques admettant comme périodes primitives les nombres 4K-, 2.i¥i''^ 4^, aK + aiK'; 2K, ^ïK! respectivement. Les carrés de ces fonctions admettent comme périodes primitives 2K, 2iK'.

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 0* ET DES FONCTIONS ^. l85

308. En posant w = o dans les formules précédentes, on a immédiatement

sno = o, snK = i, sn(K -+- iK') = j , sniK'=a),

cno = I, cnK = o, cn(K -+- iK') = — t -^ , cnt'K'^oo,

dno = i, dnK = X:', dn(K — tK') = o, dntK'=»,

sn2K= o, sn(2K -1- 2iK') = o, sn2tK'= o,

cn2K = — I, cn(2K -1- 2tK') = i, cn2tK' = — i,

dn2K= I, dn(2K -H 2iK') = — i, dn2tK' = — i.

Ces formules montrent immédiatement que, dans le parallélogramme primitif o, 4^, 2fR', 4K. + 2îK', les zéros de la fonction snw sont o, 2K, et que ses pôles sont i¥J, aK-hïK'; ces zéros et ces pôles sont simples. Ce fait est mis en évidence sur \di Jig. I du Tableau de formules, où l'on a noté les valeurs de la fonction ^=:sn(«, A") aux points dont l'affîxe u est mK-f-Ai'R', m — o, I, 2, 3, 4

Les Jig. 2 et 3 du Tableau de formules mettent de même en évidence les deux zéros et les deux pôles, tous simples, des fonctions cnw, du M dans leurs premiers parallélogrammes (').

309. Les formules d'addition résultent immédiatement des formules établies pour les fonctions \. Nous nous contentons de les écrire :

, , , , snw cna dna -^ sna CDM dnM

( i) sn(a -\- a) = —

(LXXIII) / (2) cn(M + a) = I (3) dn(M -f- a) =

en M en a — snu dn usna dna

1 — A^ sn^ u sn^a dn M dn a — k^ sn a en a sn a en a I — k^ sn^u sn^a

(') La Jig. 4 du Tableau de formules se rapporte à la fonction p{u\ w,,a),); elle met en évidence le fait que la somme des deux zéros de cette fonction situés dans le parallélogramme primitif : o, aw,, — awj, 20)^, est égale à — aw^, et que le point o est un pôle double de cette fonction.

(i) sn(aH-a)sn(M — a) =

(LXXIV) {(2) cn{u-ha)cn(u — a) =

(3) dïi{u -\~ a) c\n(u — «) =

I — k^ sn^u sn^a

i — A"2 sn'^a sn^u àn^a — k^ cn^a sn^ u

k^ sn^a sn2 u

2 sn M cna dna

(4) sn(M H- a) -+- sn(« — a) = -' j-z — ; r—:

(5) sn(if + «)-sn(M — a)

2 sna criM dnw 2 en M en a

(6) en(M -4- «) -f-en(M — a)— i<, « , '

1 — 2 snwdnM sna dna

(7) cn(u-+-a) — en(M. — a) =

(8) dn(M-i-a)-f-dn(a — a) =

(9) dn(M-!-a) — dn(u — a) =

I — k^ sn^usn'^a

2dnMdna I — k^ sn^u sn^a

— 2 ^2 snM CHM sna cna 1 — k^ sn^wsn^a

310. Considérons, par exemple, la formule (LXXIII5) : le premier membre est nul si la quantité sn« est nulle pu infinie, c'està-dire si l'on a

en désignant par m et m' des entiers quelconques, ou si l'une des quantités cnw, dnz/ est nulle, c'est-à-dire si l'on a

Ce premier membre d'ailleurs ne peut être nul que dans l'un ou l'autre de ces cas.

On conclut de là que toutes les solutions de l'équation

sna; — sna

sont données par les formules

x= a. -+- ^ mK -h -2 m' iK' , ic=—(x-i-{^m -t- 2)K -4- 2/n'iK'.

On trouve de même que toutes les solutions de l'équation

cna^ = en a

sont données par les formules

X = ± a -+- ^ niK ^ ^m' ïK',

X — zh a-4-(4»î -+- 2)K -I- (4»i'-i- 2) t'K',

et que toutes les solutions de l'équation

dna; = dna

sont données par la formule

X — zb a -h 2 m K -T- 4 /w' t K.'.

En particulier, les solutions des équations

sna7==ni, %x\^x ^ zn -;•,

Arvx = i 1

sont égales deux à deux.

311. Supposons w, et -:^ réels et positifs. Si l'on se reporte aux formules qui définissent A" et k' , en se rappelant (n° 121) que \ ^2 — Cz est un nombre négatif tandis que \Je^ — e^^^yj e^ — e., sont des nombres positifs, on voit que A" et k' sont positifs, plus petits que i; K et K' exprimés au moyen de A"-, k'- par les formules

Jr^ dx

sont réels et positifs.

Si u est une variable réelle, les formules qui donnent snw. en M, dni^, sous forme de quotients de 2r montrent que ces fonctions sont réelles. Si u reste compris entre o et K, aucune des dérivées ne peut changer de signe : les fonctions varient donc toujours dans le même sens; sn m croît de o à i, cnw décroît de I à o, dnw de I à A"'. Il convient de remarquer que la fonction dnw, qui ne s'annule et ne devient infinie pour aucune valeur réelle de a, reste positive pour toutes les valeurs réelles de //. De même, quand u croît de K à 2 R, les dérivées ne peuvent encore

l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

changer de signe; snii décroît de i à o, en w décroît de o à — i, dn II croît de A"' à i .

Ensuite les formules relatives à l'addition de aK montrent comment les choses se passent dans l'intervalle (2K, 4^^)-