Enfin la formule

, ., , j .^ 2sn(bi) cna dna

sn{a -\- 01) — sn{a—oi) =

i — k^sn-^asn^ibi)

OÙ a et 6 sont supposés réels et où le dénominateur du second membre est par conséquent réel, montre que sn(a -h bi) ne peut être réel que si b est un multiple de R' ou si a est un multiple impair de R. Si b est un multiple pair de R', en effet, le facteur sn(bi) est nul; si b est un multiple impair de R', sn'^ (bi) qui figure au dénominateur est infini et le second membre est encore nul; si enfin a est un multiple impair de R, cna est nul.

D'ailleurs, dans ces différents cas, sn(a + bi) est réel. En particulier, on voit que sn u est réel quand le point u va en ligne droite de o à R, de R à R -h iKJ, de R-H iK' à iK!. Le point u décrit alors trois côtés d'un rectangle; pour le premier côté snM croît

de G à 1; pour le second de i à j; pour le troisième de r à -f- oo.

Enfin, si snu est réel et positif, les formules du n° 310 donnent toutes les valeurs de u, en j supposant que a soit représenté par l'un des points de la ligne brisée précédente.

De même pour les valeurs réelles et négatives de isnu et le quatrième côté du précédent rectangle.

Les autres fonctions en m, dnw donneraient lieu à des observations analogues que le lecteur n'aura aucune peine à faire de lui-même.

314. Les fonctions 2» et leurs quotients ont été envisagés par plusieurs géomètres; elles se présentent souvent sous d'autres formes qu'il nous reste encore à faire connaître.

Comme l'a fait observer Kronecker dans ses Cours et dans plusieurs de ses Mémoires, la fonction doublement périodique

s'introduit d'elle-même dans quelques questions importantes d'Arithmétique et d'Algèbre.

Kronecker désigne par fonction elliptique El, la fonction de deux variables v et t,

(LXXVO El(.,x)=|4^^.

En tenant compte des formules (XXXIIIg^ , 2), (XL2), (XXXVII4), on voit que cette fonction est liée aux fonctions doublement périodiques précédemment définies, par les relations

(LXXV2) EUi^, -) = - V^ej — 63 v/ei— 63 $03(2a| x),