LXXV

Les deux relations

^ / V -\- m -[- ni x\ ?Si{v -\- m -^,111)

2 2 / Sfi ( t» -h /?i -h n X )

=<-)"li:^=<-')'»Ei(^u).

où m, /i sont deux entiers quelconques, se déduisent sans peine des formules (XXXIV). En supposant m pair et en remplaçant p, m, T par 2P, 2 m, ar, on obtient les relations

i(5) £!((; + Tw-i- /îT,x) = E1(p,t), (6) El(p+-, t) = ^,/ .

V 2 / EI(P,x)

dont la première met bien en évidence la double périodicité de la fonction El.

En remplaçant sn(w, A") par sa valeur

on peut mettre la relation

cnu dnu — —z — = /(i — sn^u){i — k^ sn^u)

sous la forme

dEl (i>, -) / ^ ■ ^

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O" ET DES FONCTIONS 3^. igi

OÙ l'on a posé (*) avec Jacobi

(LXXVt) ? = ^^P

la formule d'addition de la fonction elliptique K\(v,-) s'en déduit facilement : si x, y, z désignent les trois fonctions

on a

315. En terminant ce paragraphe, indiquons, relativement aux fonctions 2r, d'autres notations qui ont un grand intérêt historique, qui sont souvent commodes, et dont nous aurons à faire usage.

En conservant aux quantités K et K' la signification donnée par les formules (LXXl3 4), posons

Les fonctions sna:, cn^r, dn^ s'expriment très simplement au moyen des fonctions H(^), H, (.r), 6(.r), 0, (x) du même argument £C. On a

; (5) snx = (LXXVI) 1(6) cn^ =

Les fonctions H(.r), 0(:z;), 'Ri{x), 6|(^) jouissent des pro-

(') Œuvres, t. I, p. 266.

priétés suivantes, qu'on déduit immédiatement des formules

Hix-h-imK) =(— i)'«H(a7),

Hi(x-h-2./nK)= (— i)'«H,(^), Si{x -h imK) = &i(x);

n(x-hamiK') =f— i)'»AH(^), e(x-+-7.miK') = (— i)"'Ae CiP), (LXXVII2) / Hi(ic-j-2miK') = AHi(a;),

01 (x-himiK') = A 01 (3?),

H(^-hK) = Hi(^), e(x-i-K) = Si (x), Hi(:r + K)=-H(^), Biix-hK)— e{x);

l H(x-^iK') = iBe(x),

l e{x-+-iK') = iBU(x),

(LXXVII,) ^ îl,{x + iK')= BBix),

ei{x-hiK')= BHi(a7), B = eT K -? T.

m étant un entier quelconque.

316. En se reportant aux formules (XXXIIIj.g), on a immédiatement, en remplaçant la lettre u par la lettre a;,

7)ia: / e'(ar)

Nous poserons aussi

(LXXIX,) Z(a7)=|^^

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS i ET DES FONCTIONS &. igS

on a alors immédiatement les relations (LXXIX2) Z{x-^iK)=^Z{x),

(LXXIX3) Z(ar-t-2iK') = Z(a7)- ij.

317. C'est ici qu'il convient peut-être d'expliquer la différence entre les notations que nous adoptons et celles de M. Hermite.

Dans la plupart des Mémoires de l'illustre auteur et, en particulier, dans son Cours autographié de la Faculté des Sciences,

Iv et K' désignent des quantités quelconques assujetties seulement

K' à ce que la partie réelle du rapport -^ soit positive; il pose

alors (')

n ix)= -i. va sin ~jy — li/q^ s^m — r^ — \-z)/q-»sin — r? . . . ,

iK ^ 2K ^ 2K

^ , . ira" , 2.-KX Stzx

6 {x)= i — iq cos -jT 1- "îq* cos —^ 2^' cos — r-- -)-...,

Hi(a?)= 2 v'â'cos — ^ -+-2 v/7'cos —^j- -1-2/7^*008 — =7- -!-..., ^ 2K ^ 2K '^ aK

tzor ^izoc 3 Tc T"

«1 (37)= 1 -f-ag-cos -j^ H- 2<7* cos -^- -I- 2^9cos— tt^ -h....

Les quantités K et K' de M. Hermite étant quelconques, on peut, sans inconvénient, les identifier avec celles que nous désignons par (0, et -^; si l'on adopte cette convention, les fonctions

H(;r), %{x)^ H,(^), 0, (a;), avec le sens que leur donne M. Hermite, sont respectivement

M. Hermite pose ensuite

1 H(ar) /FHi(^) r-, e,(ar)

snar=---f-— , cna?= ^ S dna? = /X:' '' ;;

T. et M. - II. i3

les fonctions qu'il désigne par sn^, cn:r, dna; sont donc celles que nous désignons respectivement par snyx\Jei — e.j), cn(^Y/6') — 63), dn(a:y/(?( — 63). Au surplus, pour M. Hermite,

admet pour limite, quand x tend vers o, la quantité qu'il

désigne par 10, savoir :

1 H'(o)^ 1 Sr;(o)^ ^