Si l'on suppose Q) et Û3 liés à w,, W3 par les formules

Ql = «OJi-l- 601.3, £23= CWi-H f/Ws,

OÙ a, b, c, d sont des entiers liés par la relation ad — bc= i, les fonctions ioa(« | ^j? ^3)» ipY(^' I ^i' ^^3) s'expriment immédiatement au moyen des fonctions ioa'(« | <*>i> ^3)5 ip'y'(" I ^" ^^3)' où a', '^', y' désignent comme a, [i, y les trois nombres i, 2, 3, rangés dans un ordre quelconque. Reportons-nous, en effet, au Tableau (XX©); ce Tableau permettra de déterminer, suivant les valeurs de a, 6, c, d, les valeurs des indices X, jx, v tels que l'on

ait(XX5)

cf (u\Çii,9.3) = :f(u\o)i,i03),

a'iiu] ûi, as) = cs'oiiu I wi, W3),

a'î(M I Qi, Q3) = 3'p(M I 0),, W3), O'sC"! Ûl, Q3) = 3'y(M I Wi, (ris),

et il est clair que les douze fonctions ^ formées avec les demipériodes O,, Û3 ne seront autres, dans leur ensemble, que les douze fonctions ^ formées avec w,, (03 ; mais les indices des fonctions égales ne seront pas les mêmes, sauf dans le cas 1° du Tableau (XXe). -

321. La substitution d'un couple de périodes équivalentes affecte un peu plus profondément les fonctions snu, en m, dnw, à cause du facteur \/e^ — 63 qu'affecte aussi cette substitution.

Reprenons les notations du n" 187, et désignons encore par

C) Comparez la lettre d'IIermite à Jacobi, Wer/.e, t. II, p. 97 et 98, où Ion trouve pour la première fois les symboles 6, et H^,

/, /' les quantités A'(t), A-'(t), de sorte que l'on ait