LXXX
( (4) îL'= Q3 /ei— E3.
On sait, dans chacun des six cas du Tableau (XXe), exprimer y/fi, — E3 au moyen de y/e2 — 63 , y/e, — e^ , \Je^ — Ci ; on pourra donc exprimer L et L' au moyen de K, K', A", k' . Le Tableau (XLVIi) donne, d'autre part, les valeurs de <p(t), <|'(t) au moyen de »(t:), <|^(t), et, par suite, les valeurs de /= 'f '(t), /'= ^^(t) au moyen de ^=(p^(x), A-'=f'(T).
Plaçons-nous dans un cas particulier, par exemple dans le cas 0" du Tableau (XXg), où X=3, jj. = 2, v = i; «^ o, 6^1, c ^ I, 0?^ o (mod. 2). On a alors (XX7)
v/ei— Es = i(— 0 ^ s/ei—Ci,
a + b—\ V/Ei— E2=t(— 0 ^ /«2— ^3,
et, en consultant le Tableau du n° J87 ou le Tableau (XLV[, ),
cd ab
on a donc aussi
h = i{-i) 2 [aK-hbiK'\,
iL'= i(—i) 2 [cK-hdiK'].
D'après la formule (LXVII,) et en tenant compte du Ta-
bleau (XX7), on a d'ailleurs
Ly/Ei— E3 J^
i(m, l) = v/ei — E3'-
= /ei — E3
\-f— iQi^Qsl
LvEi— E3 J
s/ei — ^3 u .
Vei— E3 V^ei — 63 ■ ' ^
(Yi
"iii ''h
/El— E3 V'^l — ^3
ty/ei — g3j
d'où finalement en distinguant deux cas, suivant que l'on a /> ^-t- I ou que l'on a 6 ^ — i (mod. 4), et en faisant usage des formules (LXVII,o, LXXIIO,
sn(u, l) — i
sn -
u en -:
On irouve de même, dans ce cas 5° du Tableau (XXg),
cn(M, /) =
en -:
dn
dn(M, l) =
u en -:
Ce cas 5° présente un intérêt particulier. Il donne les formules qui permettent de passer du cas où l'argument u est purement imaginaire au cas où l'argument u est réel; A' est alors remplacé par ± k'.
On observera que les fonctions sn(M, A"), sn(M, /) vérifient respectivement les équations différentielles
g=(,-^.)(,-Av'), ^!=(i-^')[i-(>-'^')7'i-
198 CALCUL DIFFÉREMIEL.
On est ainsi amené à cette proposition, que le lecteur vérifiera sans peine : Si une fonction cp(w) satisfait à la première de ces équations, la fonction
satisfait à la seconde.
322. Les calculs se font, dans chaque cas, avec la même facilité. Les résultats sont consignés dans les deux Tableaux qui suivent, que nous avons séparés pour la commodité de l'impression :
le premier donne les valeurs de /, /' et du facteur ^rj = ' ^ ^
par lequel il faut multiplier aK+ biYsJ ^ cK + di¥J, pour obtenir L et ?L'; le second donne les expressions de sn(«, /), cn[u, l), dn[u,l); chacun des six cas des deux Tableaux correspond aux six cas du Tableau (XXe).
(LXXXg)
ah (—1) 2 l^'
rt — 1 (-,) 2
cd
ab
ni,
ii-1) 2 A
(LXXXe)
sn {u,l).
cn(?<, l).
dn{u,l).
snu
en M
dnif
dn y7 k
dn^,
dn^,
A" sn j
dn-^.
sn^77
iA-
en T7-,
îA'
dn" ik
en TT-, ik
u sn -r
u en -r
en -T
dn^ t
u en —
iA-
dn — jA
en -77lA
dn -77ik
On observera que dans les deux cas i° et 3°, c'est-à-dire lorsque c est pair, la fonction sna se transforme en une fonction de même nature.
323. Lorsque c est un nombre pair, on voit sur le Tableau (XXe) que v est égal à 3 et sur le Tableau (XLIIg) que m'" = d et que, par suite (XLII7), on a
On a donc, en divisant membre à membre la première et la
quatrième des formules (XLII),
2r4(v|T) Sr4((.|T) '
Dans les notations de Kronecker, cette relation se présente sous la forme
El ( ^ , , ^^^UeiC^, i\rT-'^-'^\
yia + -lo-z 'xa-\-%bi) \i %)
En posant
et en remplaçant v et x par 2P et 2t, on a donc
El
/JL^, L±|l) =El(., .),--ôr.n-8-,
OÙ a, [3, Y, S sont quatre entiers dont le second ^ est pair et qui sont liés par la relation a8 — j^y = i . Cette formule est d'ailleurs équivalente à la suivante :
(LXXX7) El[(û — pT)p,T] = E1(P, x)i-Sy+2y+5-i,
OÙ l'on a posé
c'est la formule de transformation linéaire de la fonction elliptique El, pour p pair, sous la forme dont Kronecker a fait usage.
