IV. — Transformation quadratique des fonctions elliptiques
324. La substitution aux deux demi-périodes w,, Wg des deux demi-périodes
ûi = awi H- 6W3, Q3= cwiH-t/ws,
lorsque a, è, c, d sont des entiers et que le déterminant ad — bc^=n est positif, dépend de la multiplication d'une période par n et de substitutions à déterminant H- i . [1 nous reste donc à faire pour les fonctions ^, sn, ... ce que nous avons fait pour les fonctions a" et 2r (n°^ 130 à 145 et 242 à 270). Les résul-
LES QUOTIEMS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS 3f.
tats se déduisent, par de simples divisions, de ceux qui ont été établis dans ces mêmes numéros. Comme alors, nous traiterons d'abord du cas où /i = 2, puis de celui où n est impair.
Dans le premier cas, pour ce qui est des fonctions ^, nous nous dispenserons d'écrire les formules qui résultent immédiatement des Tableaux (XXII) à (XXV); nous nous contenterons de considérer les transformations des fonctions sn, en, dn et nous nous servirons pour cela des formules relatives aux fonctions .^ qui sont un peu plus avantageuses.
325. Rappelons d'abord, parmi les formules (XLIX), les suivantes
?Kt)
iJ^H^t) =
2Cp2(x)
et observons, en passant, que les deux dernières se déduiraient des deux premières en changeant t en On en déduit très aisément
(XLIXio)
/i -+- es* ( x) = i/n- A- = ^2 , ,
si, dans les derniers membres, on regarde y/2 comme un nombre positif, ces formules définissent les radicaux ^ \ -[- k' ^ \J \ — /r', y/i + A-, y/i — k comme des fonctions univoques de x; en d'autres termes, ces formules ^^eni le signe de ces radicaux qui apparaissent dans diverses questions de la théorie des fonctions elliptiques, et que nous prendrons désormais avec cette signification
précise. Il est bien clair que, si -r est réel et positif, les radicaux
doivent être pris avec leur sens arithmétique, puisque les derniers membres sont alors manifestement positifs.
Il convient d'observer que l'on a, en adoptant cette détermination des radicaux,
la première de ces relations, en effet, si l'on se reporte aux définitions, équivaut à l'égalité
qui résulte très facilement des formules (XL1X5 6). On a aussi
puisque les carrés des deux membres sont manifestement égaux et que chacun des deux membres définit une fonction analytique de T ayant une valeur réelle et positive dans le cas particulier où
- est réel et positif.
Les formules qui définissent y/i -+- k', y/i — k', ... donnent, inversement,
)/i-\-k' ^i-hk'
326. Plaçons-nous dans le cas où aux demi-périodes w,, 103 on substitue les demi-périodes — 5 (03 ; t est alors remplacé par ax et si l'on désigne par y/7 et y//' les quantités (p^^ax), (|;2(2x) qui remplacent y/Â- = ^^{"z) et \Jk'= <}^(t), on aura, d'après ce qu'on vient de dire,
(LXXXI)
où les signes des radicaux, fixés comme on l'a expliqué, sont assurément tels que les valeurs de sjl, y/7' coïncident respective-
ment avec celles de
3r,(o|2T) &t(oh-T:)
. STaCoUi)' ^aColax)*
327. Si l'on désigne maintenant par Ej, E3, ^/ei — E3, les quantités qui remplacent e,, e;(, y/e, — 63 et par L, L' les quantités qui remplacent K, K', savoir :
Ei = p(— —,Oisj. E3=J)f(03 —,103), El + E24-E3 = 0,
\/b:i— Ej = ^30 ^ — —'^3),
(LXXXI
et, si l'on pose
axxxis)
on aura
RI
vei — 63
v/ei —
et, par suite, en appliquant la formule (XLVII4),
&i(ol 2x) = i [2r|(o I T) + 3r|(o| X)] = i:ti:^
2ri(oix),
il viendra (LXXXI)
